Почему в РФ и республиках в составе РФ действуют органы под названием конституционных судов

В силу ст. 66 Конституции РФ статус республики определяется Конституцией Российской Федерации и конституцией республики.
Статус края, области, города федерального значения, автономной области, автономного округа определяется Конституцией Российской Федерации и уставом края, области, города федерального значения, автономной области, автономного округа, принимаемым законодательным (представительным) органом соответствующего субъекта Российской Федерации.
Соответственно суды так называются, потому, что в республиках, входящих в состав Российской Федерации, основной Закон, нормативно-правовой акт,  — это Конституция . Например, Конституция Республики Башкортостан. В Краях, областях и т.п., основной Нормативно-правовой акт — это Устав. Например, Устав Хабаровского края.
Конституционные (уставные) суды, выступая субсидиарными органами конституционного контроля, во многом обеспечивают эффективность иных правозащитных и контрольных органов (уполномоченного по правам человека в субъекте РФ, прокуратуры) и поэтому являются незаменимыми органами в части охраны конституционного строя, защиты конституционных прав и свобод граждан, разрешения споров между органами власти в рамках системы «сдержек и противовесов»