По заданной таблице распределений (Таблица 1) определить наилучшее приближение из списка стандартных функций (линейной, степенной, гиперболы) для заданных значений (X, Y).
Таблица 1
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9
X 18,93 -22,13 -10,07 20,59 7,09 4,40 -20,78 -12,98 3,69
Y 6,06 7,20 5,62 7,01 5,73 6,98 6,06 6,52 6,90
Решение
А) линейная регрессионная модель
Линейное уравнение тренда имеет вид: y=a+bx
Система уравнений МНК:
an+bx=yax+bx2=yx
Таблица 2
X Y YX X^2 Y^2
1 18,93 6,06 114,72 358,34 36,72
2 -22,13 7,20 -159,34 489,74 51,84
3 -10,07 5,62 -56,59 101,40 31,58
4 20,59 7,01 144,34 423,95 49,14
5 7,09 5,73 40,63 50,27 32,83
6 4,40 6,98 30,71 19,36 48,72
7 -20,78 6,06 -125,93 431,81 36,72
8 -12,98 6,52 -84,63 168,48 42,51
9 3,69 6,90 25,46 13,62 47,61
Сумма -11,26 58,08 -70,64 2056,97 377,69
Ср. знач. -1,25 6,45 -7,85 228,55 41,97
Для наших данных система уравнений имеет вид:
9a-11,26b=58,08-11,26a+2056,97b=-70,64
Из первого уравнения выражаем a и подставим во второе уравнение
Получаем a = 6,45, b = 0,000993
Уравнение тренда:
y=6,45+0,000993х
Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.
Коэффициент тренда b = 0,000993 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением x на 1 единицу, y изменится в среднем на 0,000993.
Коэффициент детерминации
Таблица 3
X Y y(x) (y-ср.y)^2 (y-y(x))^2 (y-y(x))/y
18,93 6,06 6,469 0,155 0,167 0,067
-22,13 7,2 6,428 0,558 0,596 0,107
-10,07 5,62 6,440 0,694 0,672 0,146
20,59 7,01 6,470 0,310 0,291 0,077
7,09 5,73 6,457 0,523 0,529 0,127
4,4 6,98 6,454 0,277 0,276 0,075
-20,78 6,06 6,429 0,155 0,136 0,061
-12,98 6,52 6,437 0,004 0,007 0,013
3,69 6,9 6,454 0,200 0,199 0,065
Сумма 58,08 58,03882 2,8758 2,873973 0,738093
Ср
. знач. 6,453333
R2=1-yi-yx2yi-y2=1-2,872,88=0,000701
Т.е. в 0.07% случаев изменения х приводят к изменению y.
Относительная ошибка аппроксимации
Оценим качество уравнения тренда с помощью средней относительной ошибки аппроксимации.
A=0,7389*100%=8.2%
В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 8.2%. Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.
Рисунок 1
б) степенная регрессионная модель
Степенное уравнение тренда имеет вид: y=axb (lny=lna+blnx
Система уравнений МНК:
an+bx=yax+bx2=yx
Таблица 4
ln(x) ln(y) x^2 y^2 xy
1 2,941 1,802 8,648 3,246 5,298
2 0,000 1,974 0,000 3,897 0,000
3 0,000 1,726 0,000 2,980 0,000
4 3,025 1,947 9,149 3,792 5,890
5 1,959 1,746 3,836 3,048 3,419
6 1,482 1,943 2,195 3,775 2,879
7 0,000 1,802 0,000 3,246 0,000
8 0,000 1,875 0,000 3,515 0,000
9 1,306 1,932 1,705 3,731 2,522
Сумма 10,711 16,746 25,534 31,231 20,009
Ср. знач
1,861 2,837 3,470 2,223
Для наших данных система уравнений имеет вид:
9a+10,711b=16.74610,711a+25,534b=20,009
Из первого уравнения выражаем a и подставим во второе уравнение
Получаем a = 1,8535, b = 0,00609
Уравнение тренда:
y=e1,8535x0,00609=6.38187x0.00609
Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.
Коэффициент тренда b = 0,00609 степенной функции есть относительный показатель силы связи, или коэффициент эластичности
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
