По заданной обобщенной схеме составить и изобразить схему цепи

По заданной схеме составляем схему цепи (рис. 2), изображая комплексные сопротивления на схеме в виде соответствующих элементов R, L, C.
Рис. 2 Расчетная схема электрической цепи
Параметры цепи:
E1=120e-j60°=60-j103,923 В
E4=130e-j65°=54,94-j117,82 В
Z1=15e-j90°=-j15 Ом
R1=0; XL1=0; XC1=15 Ом
Z2=15ej45°=10,607+j10,607 Ом
R2=10,607 Ом; XL2=10,607 Ом; XC2=0 Ом
Z3=15ej65°=6,339+j13,595 Ом
R3=6,339 Ом; XL3=13,595 Ом; XC3=0
Z4=35ej50°=22,498+j26,812 Ом
R4=22,498 Ом; XL4=26,812 Ом; XC4=0
Z5=15ej35°=12,287+j8,604 Ом
R5=12,287 Ом; XL5=8,604 Ом; XC5=0
Z6=10ej10°=9,848+j1,736 Ом
R6=9,848 Ом; XL6=1,736 Ом; XC6=0
Z7=10ej90°=j10 Ом
R7=0; XL7=10 Ом; XC7=0
Электрическая цепь имеет n=6 неизвестных токов и m=4 узла. По первому закону Кирхгофа составляется m-1=3 уравнения для 3-х узлов. По второму закону Кирхгофа составляется s=n-m-1=3 уравнения для s=3 независимых контуров. Задаем направления обхода контуров (рис. 2).
Составим систему уравнений по законам Кирхгофа в интегрально-дифференциальном виде:
i1+i3-i4=0ai4+i5-i6=0ci2-i3-i5=0dL3di3dt+i3R3+L4di4dt+i4R4+L7di4dt-i5R5-L5di5dt=e4I1C1i1dt-i3R3-L3di3dt-i2R2-L2di2dt=e1IIL2di2dt+i2R2+i5R5+L5di5dt+L6di6dt+i6R6=0III
Составим систему уравнений по законам Кирхгофа в комплексной форме:
I1+I3-I4=0aI4+I5-I6=0bI2-I3-I5=0cI3R3+jXL3+I4R4+jXL4+jXL7-I5R5+jXL5=E4II1-jXC1-I3R3+jXL3-I2R2+jXL2=E1III2R2+jXL2+I5R5+jXL5+I6R6+jXL6=0III
Количество независимых контуров в схеме s=3 . Произвольно выбираем направление контурных токов I11, I22, I33 (рис. 3).
Рис. 3 Расчетная схема электрической цепи
Составляем уравнения по 2-му закону Кирхгофа в количестве s=3 по методу контурных токов:
I11Z3+Z4+Z7+Z5-I22Z3-I33Z5=E4-I11Z3+I22Z1+Z2+Z3-I33Z2=E1-I11Z5-I22Z2+I33Z2+Z5+Z6=0
Так как узел 0 заземлен, его потенциал равен нулю: φ0=0. Определим токи в ветвях методом узловых потенциалов. Число узловых уравнений q-1=3. Уравнения по 1-му закону Кирхгофа для узлов по методу узловых потенциалов:
φa1Z1+1Z3+1Z4+Z7-φc1Z4+Z7-φd1Z3=E11Z1-E41Z4+Z7-φa1Z4+Z7+φc1Z4+Z7+1Z5+1Z6-φd1Z5=E41Z4+Z7-φa1Z3-φc1Z5+φd1Z2+1Z3+1Z5=0
Рассчитаем комплексные токи методом контурных токов. Подставляем в составленную ранее систему исходные данные и упрощаем ее:
I1141,124+j59,01-I226,339+j13,595-I3312,287+j8,604=54,94-j117,82-I116,339+j13,595+I2216,946+j9,201-I3310,607+j10,607=60-j103,923-I1112,287+j8,604-I2210,607+j10,607+I3332,742+j20,947=0
Решаем полученную систему уравнений в ПО Mathcad:
Таким образом, контурные токи:
I11=1,875-j5,086=5,421e-j69,765° А
I22=8,676-j11,583=14,472e-j53,166° А
I33=5,034-j5,578=7,514e-j47,936° А
Комплексные действующие токи цепи:
I1=I22=8,676-j11,583=14,472e-j53,166° А
I2=I33-I22=5,034-j5,578-8,676-j11,583=-3,642+j6,004=7,022ej121,238° А
I3=I11-I22=1,875-j5,086-8,676-j11,583=-6,801+j6,496=9,405ej136,312° А
I4=I11=1,875-j5,086=5,421e-j69,765° А
I5=I33-I11=5,034-j5,578-1,875-j5,086=3,159-j0,492=3,197e-j8,852° А
I6=I33=5,034-j5,578=7,514e-j47,936° А
Угловая частота переменного тока:
ω=2πf=2π∙50=314 радс
Мгновенные значения токов:
i1=I1msinωt+ψi1=14,4722sin314t-53,166°=20,466sin314t-53,166° А
i2=I2msinωt+ψi2=7,0222sin314t+121,238°=9,931sin314t+121,238° А
i3=I3msinωt+ψi3=9,4052sin314t+136,312°=13,301sin314t+136,312° А
i4=I4msinωt+ψi4=5,4212sin314t-69,765°=7,666sin314t-69,765° А
i5=I5msinωt+ψi5=3,1972sin314t-8,852°=4,522sin314t-8,852° А
i6=I6msinωt+ψi6=7,5142sin314t-47,936°=10,626sin314t-47,936° А
Показания ваттметра:
Uc0=I6∙Z6=5,034-j5,578∙j10=59,263-j46,194=75,14e-j37,936° В
PW=Uc0∙I6∙cosUc0I6=75,14∙7,514∙cos-37,936°--47,936°=75,14∙7,514∙cos10°=2426,542 Вт
По 2-му закону Кирхгофа для внешнего контура:
I4R4+jXL4+jXL7+I6R6+jXL6+I1-jXС1=E1+E4
1,875-j5,086∙22,498+j26,812+j10+5,034-j5,578∙9,848+j1,736+8,676-j11,583∙-j15=60-j103,923+54,94-j117,82
114,94-j221,743=114,94-j221,743
2-й закон Кирхгофа выполняется.
Рассчитаем потенциалы точек 0-e-a-f-g-b-c-h-0 и построим топографическую диаграмму для внешнего контура цепи, считая известными комплексные токи в ветвях и приняв потенциал точки 0 φ0=0.
φh=φ0+I6∙R6=0+5,034-j5,578∙9,848=49,576-j54,936 В
φc=φh+I6∙jXL6=49,576-j54,936+5,034-j5,578∙j1,736=59,263-j46,194 В
φb=φc+I4∙jXL7=59,263-j46,194+1,875-j5,086∙j10=110,126-27,445 В
φg=φb-E4=110,126-27,445-54,94-j117,82=55,186+j90,375 В
φf=φg+I4∙R4=55,186+j90,375+1,875-j5,086∙22,498=97,367-j24,056 В
φa=φf+I4∙jXL4=97,367-j24,056+1,875-j5,086∙j26,812=233,74+j26,214 В
φe=φa-E1=233,74+j26,214-60-j103,923=173,74+j130,137 В
φ0=φe+I1∙-jXС1=173,74+j130,137+8,676-j11,583∙-j15=0
Строим топографическую диаграмму напряжений, совмещенную с векторной диаграммой токов (рис