По выборке одномерной случайной величины ξ - получить вариационный ряд

Данную выборку преобразуем в вариационный (интервальный) ряд, поскольку рассматривается непрерывная случайная величина (НСВ).
Разместим исходные данные в один столбик на экране Excel и проранжируем их нажатием на панели инструментов кнопку от А до Я. Результаты разместим по возрастанию в столбцах:
Таблица 1 Упорядоченные по возрастанию исходные данные
0,01 0,08 0,16 0,25 0,41 0,60 0,75 0,99 1,34 1,82
0,02 0,09 0,18 0,28 0,43 0,61 0,76 1,01 1,39 1,96
0,02 0,09 0,18 0,32 0,43 0,65 0,77 1,02 1,40 2,20
0,03 0,09 0,18 0,33 0,44 0,65 0,79 1,05 1,48 2,26
0,03 0,09 0,19 0,33 0,47 0,68 0,79 1,05 1,52 2,64
0,05 0,10 0,19 0,34 0,49 0,69 0,83 1,19 1,52 2,71
0,06 0,12 0,20 0,37 0,51 0,70 0,87 1,20 1,53 2,94
0,06 0,13 0,21 0,41 0,52 0,70 0,87 1,22 1,63 4,16
0,06 0,14 0,22 0,41 0,54 0,72 0,91 1,23 1,69 5,30
0,06 0,15 0,24 0,41 0,55 0,73 0,98 1,26 1,77 5,38
Строим его так: диапазон изменения случайной величины в выборке объема n=100 делим на интервалов. Число интервалов определяем по формуле с округлением до ближайшего целого.
В нашем примере .
Ширину каждого интервала берем одинаковой и равной Δ. Находим, что

Тогда длина интервала группирования
Находим границы интервалов величины
,
Таблица 2 Интервальный ряд
№
интервала Границы интервалов 12700036703000
Частота 38417568897500
Относительная
частота
Нижняя граница Верхняя граница
1 0,01 0,68 0,345 54
2 0,68 1,35 1,015 27
3 1,35 2,02 1,685 11
4 2,02 2,69 2,355 3
5 2,69 3,36 3,025 2
6 3,36 4,03 3,695 0
7 4,03 4,7 4,365 1
8 4,7 5,38 5,04 2
Сумма     Сумма 100
Поскольку в некоторых интервалах частоты либо равны 0, либо менее 5, что неприемлемо для дальнейших исследований, рассмотрим m=5 интервалов.
Тогда длина интервала группирования
При ,
Находим границы величины
,
Таблица 3 . Интервальный ряд для 5 интервалов
Номер интервала Нижняя граница Верхняя граница Среднее значение интервала,x' Частота, Относительная
частота Накопленная относительная частота
ni
1 0,01 1,084 0,547 75 0,75 0,75
2 1,084 2,158 1,621 17 0,17 0,92
3 2,158 3,232 2,695 5 0,05 0,97
4 3,232 4,306 3,769 1 0,01 0,98
5 4,306 5,38 4,843 2 0,02 1
2.Построим эмпирическую функцию распределения
Эмпирическую функцию распределения составим по интервальному ряду, приняв за значения х середины соответствующих интервалов, рассчитав относительные и накопленные относительные частоты, используя формулу:
F*эмп.=P(x<X)
F*x=0, х≤0,5470,75, 0,547<х≤1,6210,92, 7,78<х≤2,6950,97, 2,695<х≤3,7690,98, 3,769<х≤4,8431, х>4,843
Построим график эмпирической функции распределения F*(x)
3.Построим гистограмму
4.Вычислим точечные оценки математического ожидания и дисперсии
Составим таблицу дополнительных расчетов:
i Интервалы Частота Середина интервала
Нижняя граница Верхняя граница ni Хi’
1 0,01 1,084 75 0,547 41,025 22,441
2 1,084 2,158 17 1,621 27,557 44,670
3 2,158 3,232 5 2,695 13,475 36,315
4 3,232 4,306 1 3,769 3,769 14,205
5 4,306 5,38 2 4,843 9,686 46,909
Итого 100 х 95,512 164,540
Выборочное среднее:
х=m1*=1ni=1sxini=1100∙95,512≈0,96.
Второй эмпирический начальный момент:
m2*=1ni=1sxi2ni=1100∙164,540=1,645.
Выборочная дисперсия (смещенная оценка):
μ2*=Dв=m2*-m1*2=1,645-0,962=0,7331.
Исправленная выборочная дисперсия (несмещенная оценка)
s2=nn-1∙Dв=10099∙0,7331=0,7406.
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
σв=Dв=0,73314=0,8562.
Несмещенное среднее квадратическое отклонение:
s=s2=0,7406=0,8606.
5.Вычислим интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ=0,95)
Для нахождения интервальных оценок параметров нормального распределения воспользуемся формулами:
хв-Sn∙t<хг<хв+Sn∙t; S1-q<σг<S1+q.
где S=nn-1∙σ- исправленное среднее квадратическое отклонение,
t,q- определяются по доверительной вероятности γ и объёму выборки n.
1) γ=0,95t(γ; n)=t(0,95; 100)=1,984, q(γ; n) =q(0,95; 100)=0,143.
0,96-0,860610∙1,984<хг<0,96+0,860610∙1,984
0,87<хг<1,05 – для математического ожидания
0,8606∙1-0,143<σг<0,8606∙1+0,143
0,738<σг<0,984
0,7382<Dг<0,9842
0,544<Dг<0,968-для дисперсии.
6.Выдвинем гипотезу о законе распределения случайной величины
Форма гистограммы указывает на то, что выборочное распределение близко к показательному