По территориям региона приводятся данные за 199Xг. (р1
- число букв в полном имени, р2 - число букв в фамилии).
Номеррегиона Среднедушевой прожиточныйминимум в день одноготрудоспособного, руб., x
Среднедневная заработнаяплата, руб., y
1 78+р1
133+ р2
2 80+р2
148
3 87 135+р1
4 79 154
5 106 157+р1
6 106+ р1
195
7 67 139
8 98 158+ р2
9 73+р2
152
10 87 162
11 86 146+ р2
12 110+р1
173
Требуется:
1.Построить линейное уравнение парной регрессии у по х.
2.Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.
3.Оценить статистическую значимость уравнения регрессии вцелом и отдельных параметров регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
4.Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозномзначении среднедушевого прожиточного минимума x, составляющем107% от среднего уровня.
5.Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и егодоверительный интервал.
6.На одном графике отложить исходные данные итеоретическую прямую.
7.Проверить вычисления в MS Excel.
p1=8 , p2 =10
Решение
Рассчитаем параметры линейной парной регрессии от :
В общем виде однофакторная линейная эконометрическая модель записывается следующим образом:
где вектор наблюдений за результативным показателем;
вектор наблюдений за фактором;
неизвестные параметры, что подлежат определению;
случайная величина ( отклонение, остаток)
Ее оценкой является модель:
вектор оцененных значений результативного показателя;
оценки параметров модели.
Чтобы найти оценки параметров модели воспользуемся 1МНК:
где коэффициент ковариации показателя и фактора характеризует плотность связи этих признаков и разброс и рассчитывается за формулой:
средние значения показателя и фактора:
среднее значение произведения показателя и фактора:
дисперсия фактора характеризует разброс признаки вокруг среднего и рассчитывается за формулой:
среднее значение квадратов фактора:
Таблица 1
Вспомогательные расчеты
86 143 12298 7396 20449 153,0698 -10,0698 101,4017 7,041849
90 148 13320 8100 21904 156,6155 -8,61546 74,22614 5,821257
87 143 12441 7569 20449 153,9562 -10,9562 120,0394 7,661712
79 154 12166 6241 23716 146,865 7,134984 50,908 4,633107
106 165 17490 11236 27225 170,7979 -5,79792 33,61592 3,513893
114 195 22230 12996 38025 177,8892 17,11084 292,781 8,774792
67 139 9313 4489 19321 136,2282 2,771833 7,683056 1,994124
98 168 16464 9604 28224 163,7067 4,293308 18,4325 2,555541
83 152 12616 6889 23104 150,4106 1,589368 2,526092 1,045637
87 162 14094 7569 26244 153,9562 8,043752 64,70195 4,965279
86 156 13416 7396 24336 153,0698 2,930156 8,585817 1,878305
118 173 20414 13924 29929 181,4348 -8,43477 71,14538 4,875591
Итого 1101 1898 176262 103409 302926 1898 1,14E-13 846,047 54,76109
Средние значения 91,75 158,167 14688,5 8617,41667 25243,83 158,1667
14,119 15,07
199,35 227,14
Найдем компоненты 1МНК :
Находим оценки параметров модели:
Получим: Подставим найденные параметры в уравнение получим:
.
Параметр регрессии позволяет сделать вывод, что с увеличениемсреднедушевого прожиточного минимума на 1 руб
. среднедневнаязаработная плата возрастает в среднем на 0,89 руб. (или 89 коп.).
После нахождения уравнения регрессии заполняем столбцы 7-10таблицы 1.
Выполним оценку тесноту связи между переменными с помощью коэффициента корреляции и средней ошибки аппроксимации:
Для анализа полученной модели вычислим коэффициент корреляции по формуле:
где ,
Вычислим :
Т.к. значение коэффициента корреляции больше 0,7, то это говорит оналичии весьма тесной линейной связи между признаками.Коэффициент детерминации:
.
Это означает, что 69% вариации заработной платы (у) объясняетсявариацией фактора - среднедушевого прожиточного минимума.
Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:
Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 10%.
3. Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целомпроведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение критерия по формуле составит
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и составляет Fтабл =4,96
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
