По территориям Центрального района известны данные за 1995 год

Поле корреляции
Гипотеза о форме связи: Визуальный анализ полученного графика показывает, что точки поля корреляции располагаются вдоль некоторой воображаемой прямой линии, рассеиваясь около неё. Можно предположить наличие связи между величиной прожиточного минимума и среднего размера назначенных ежемесячных пенсий. Также, расположение точек поля корреляции, говорит о том, что связь между признаками х и у может быть нелинейного вида.
Рассчитаем параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессий.
1). Рассчитаем параметры уравнений линейной парной регрессии. Для расчета параметров a и b линейной регрессии y=a+b*x решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:
y=an+bxxy=ax+bx2
выполним дополнительные расчеты
х у ху
х^2 у^2 у
у-у
у-уу*100%
166 232 38512 27556 53824 222,7463 9,2537 3,988
178 240 42720 31684 57600 224,5499 15,4501 6,437
180 220 39600 32400 48400 224,8505 -4,8505 2,204
181 222 40182 32761 49284 225,0008 -3,0008 1,351
186 231 42966 34596 53361 225,7523 5,2477 2,271
189 220 41580 35721 48400 226,2032 -6,2032 2,819
197 221 43537 38809 48841 227,4056 -6,4056 2,898
199 215 42785 39601 46225 227,7062 -12,7062 5,909
201 226 45426 40401 51076 228,0068 -2,0068 0,887
202 226 45652 40804 51076 228,1571 -2,1571 0,954
215 237 50955 46225 56169 230,111 6,889 2,906
250 229 57250 62500 52441 235,3715 -6,3715 2,782
302 250 75500 91204 62500 243,1871 6,8129 2,725
2646 2969 606665 554262 679197
38,139
203,54 228,38 46666,54 42635,54 52245,92
2,933
Параметры уравнения регрессии можно определить по формулам, которые вытекают из системы нормальных уравнений:
a=yx2-xyxnx2-(x)2= 2969*554262-606665*264613*554262-2646*2646=197,8
b=nxy-yxnx2-(x)2= 13*606665-2969*264613*554262-2646*2646=0,15
уравнение парной линейной регрессии имеет вид: y= 0,15х+197,8
Коэффициент регрессии b = 0,15 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 тысячу рублей прожиточного минимума в среднем на одного пенсионера
в месяц, средний размер назначенных ежемесячных пенсий повышается в среднем на 0,15.
2). Рассчитаем параметры уравнений степенной парной регрессии. Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:
lgy=lga+b⋅lgx
Y=C+b⋅X, где Y=lgy, X=lg x, C=lg a.
После потенцирования получаем: у = =a⋅xb
выполним дополнительные расчеты
Ln(х) Ln(у) Ln(х)ln(у) (ln(х))^2 (ln(у))^2 у
Ln(у)-у
у-уу*100%
5,112 5,447 27,844 26,132 29,667 5,4046 0,0422 0,7743
5,182 5,481 28,399 26,851 30,037 5,4139 0,0667 1,2174
5,193 5,394 28,009 26,967 29,091 5,4154 -0,0218 0,4040
5,198 5,403 28,086 27,024 29,189 5,4162 -0,0135 0,2496
5,226 5,442 28,441 27,308 29,620 5,4198 0,0226 0,4153
5,242 5,394 28,272 27,476 29,091 5,4220 -0,0283 0,5253
5,283 5,398 28,520 27,912 29,140 5,4275 -0,0294 0,5438
5,293 5,371 28,428 28,019 28,844 5,4289 -0,0582 1,0843
5,303 5,421 28,747 28,125 29,382 5,4302 -0,0097 0,1786
5,308 5,421 28,774 28,178 29,382 5,4309 -0,0103 0,1909
5,371 5,468 29,367 28,844 29,900 5,4392 0,0288 0,5270
5,521 5,434 30,002 30,487 29,525 5,4595 -0,0257 0,4738
5,710 5,521 31,530 32,609 30,487 5,4848 0,0367 0,6639
68,943 70,593 374,418 365,932 383,355
7,2482
5,303 5,430 28,801 28,149 29,489
0,5576
b=xY-x⋅Yx2-(x)2=28,801-5,303⋅5,4328,149-5,3032=0,134
C=Y-b⋅x=5,43-0,134⋅5,303=4,719
y=e4,719x1,134
уравнение регрессии y=112,07x1,134
3). Рассчитаем параметры уравнений экспоненциальной парной регрессии. Построению экспоненциальной модели y=aebx предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:
lny=lna+bx
Y=C+bx где Y=lny,C=lna
Для расчетов используем данные
(х) Ln(у) (x)ln(y) X^2 ln(Y)^2 у
Ln(у)-у
у-уу*100%
166 5,446737 904,1584 27556 29,66695 221,465 10,53499 4,540944
178 5,480639 975,5537 31684 30,0374 223,0653 16,93469 7,05612
180 5,393628 970,853 32400 29,09122 223,3332 -3,33315 1,515069
181 5,402677 977,8846 32761 29,18892 223,4672 -1,46719 0,660897
186 5,442418 1012,29 34596 29,61991 224,1386 6,8614 2,970303
189 5,393628 1019,396 35721 29,09122 224,5424 -4,54241 2,064733
197 5,398163 1063,438 38809 29,14016 225,6228 -4,62281 2,091768
199 5,370638 1068,757 39601 28,84375 225,8937 -10,8937 5,066845
201 5,420535 1089,528 40401 29,3822 226,165 -0,16495 0,072988
202 5,420535 1094,948 40804 29,3822 226,3007 -0,30069 0,133049
215 5,46806 1175,633 46225 29,89968 228,0727 8,927261 3,766777
250 5,433722 1358,431 62500 29,52533 232,9129 -3,91291 1,708695
302 5,521461 1667,481 91204 30,48653 240,2943 9,705655 3,882262
2646 70,59284 14378,35 554262 383,3555
35,53045
203,5385 5,430218 1106,027 42635,54 29,48888
2,733111
Рассчитаем С и b:
b=xY-x⋅Yx2-(x)2=1106,027-203,5385⋅5,4342635,54-203,542=0,00067
C=Y-b⋅x=5,43-0,00067⋅203,54=5,3
Получим линейное уравнение: Y=5,3+0,00067⋅x .
Выполнив его потенцирование, получим: y=200,47e0,00067x
Рассчитаем параметры уравнений полулогарифмической парной регрессии. Построению полулогарифмической модели y=a+blnx предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем замены:
y=a+blnx где X=lnx
Для расчетов используем данные
ln(х) у ln(x)y (ln(х))^2 Y^2 у
у-у
у-уу*100%
5,111988 232 1185,981 26,13242 53824 222,3212 9,678787 4,171891
5,181784 240 1243,628 26,85088 57600 224,532 15,46801 6,445003
5,192957 220 1142,451 26,9668 48400 224,8859 -4,88591 2,220867
5,198497 222 1154,066 27,02437 49284 225,0614 -3,06139 1,379006
5,225747 231 1207,147 27,30843 53361 225,9245 5,075474 2,197175
5,241747 220 1153,184 27,47591 48400 226,4313 -6,43134 2,923335
5,283204 221 1167,588 27,91224 48841 227,7445 -6,74448 3,0518
5,293305 215 1138,061 28,01908 46225 228,0644 -13,0644 6,076479
5,303305 226 1198,547 28,12504 51076 228,3812 -2,38118 1,053621
5,308268 226 1199,668 28,17771 51076 228,5384 -2,53838 1,123177
5,370638 237 1272,841 28,84375 56169 230,514 6,48604 2,736726
5,521461 229 1264,415 30,48653 52441 235,2913 -6,29127 2,747281
5,710427 250 1427,607 32,60898 62500 241,2768 8,723224 3,48929
68,94333 2969 15755,18 365,9321 679197
39,61565
5,303333 228,3846 1211,937 28,14863 52245,92
3,047358
Рассчитаем a и b:
b=Xy-X⋅yX2-(X)2=1211,937-5,303⋅228,384628.14863-228,382=31,675
a=y-b⋅X=228,38-31,675⋅5,303=60,399
Получим линейное уравнение: y=31,675+60,399⋅lnx.
Рассчитаем параметры уравнений обратной парной регрессии. Для оценки параметров приведем обратную модель y=1a+bx к линейному виду, заменив 1y=Y, тогда Y=a+bx
Для расчетов используем данные
ln(х) у ln(x)y (ln(х))^2 Y^2 у
у-у
у-уу*100%
166 0,0043 0,71552 27556 1,86E-05 222,8678 9,1322 3,936306917
178 0,0042 0,74167 31684 1,74E-05 224,4884 15,5116 6,463165177
180 0,0045 0,81818 32400 2,07E-05 224,7608 -4,7608 2,164001722
181 0,0045 0,81532 32761 2,03E-05 224,8973 -2,8973 1,305068445
186 0,0043 0,80519 34596 1,87E-05 225,582 5,4180 2,345460878
189 0,0045 0,85909 35721 2,07E-05 225,9948 -5,9948 2,724922941
197 0,0045 0,8914 38809 2,05E-05 227,1032 -6,1032 2,761617502
199 0,0047 0,92558 39601 2,16E-05 227,382 -12,3820 5,75905184
201 0,0044 0,88938 40401 1,96E-05 227,6614 -1,6614 0,735147583
202 0,0044 0,89381 40804 1,96E-05 227,8014 -1,8014 0,797091751
215 0,0042 0,90717 46225 1,78E-05 229,6371 7,3629 3,106691654
250 0,0044 1,0917 62500 1,91E-05 234,7298 -5,7298 2,502079045
302 0,0040 1,208 91204 0,000016 242,7272 7,2728 2,909104993
2646 0,057013258 11,562013 554262 0,00025
37,50971045
203,54 0,00439 0,89 42635,54 0,00002     2,885362342
Рассчитаем a и b:
b=xY-x⋅Yx2-(x)2=0,89-203,54⋅0,0043942635,54-203,542=-0,0000029
a=Y-b⋅x=0,00439-0,0000029⋅203,54=0,0049
Получим линейное уравнение: Y=0,0049-0,0000029⋅x.
Или y=10,0049-0,0000027x
Рассчитаем параметры уравнений равносторонней гиперболы парной регрессии