По структурной схеме надежности технической системы

1. В исходной схеме (рисунок 1) параллельные соединения образуют следующие элементы :
2 и 3 - заменяются квазиэлементом А ( рис.2а);
4,5 и 6 - заменяются квазиэлементом B( рис.2б);
7,8,9 и 10 - заменяются квазиэлементом C( рис.2в);
11,12,13,14 и 15 - заменяются квазиэлементом D( рис.2г);
Преобразования расчетной схемы системы приводятся на рисунке 2
а)
б)
в)
г)
Рисунок 2 – Преобразования структурной схемы
2. Вероятность безотказной работы системы с паралелльным соединением элементов рассчитывается по формуле:
Pпар =1 – i=1n(1-pi) , (1)
где pi – вероятность безотказной работы i-го элемента системы.
n - количество элементов соединения
Для квазиэлемента А:
PA =1 – i=1n=2(1-pi)=1- (1-p2)(1-p3), (2)
Элементы 2 и 3 равнонадежны, то есть р2 = р3, учитывая это, получим
PA=1-(1-p2)∙(1-p3)=1-(1-p2)2, (3)
3. Для квазиэлемента В:
PB =1 – i=1n=3(1-pi)=1- (1-p4)(1-p5)(1-p6) =
=1-(1-p4)3, (4)
4. Для квазиэлемента C с учётом того, что р7 =р8 = р9 =р10 , получим
PC=1-(1-p7)∙(1-p8)(1-p9)(1-p10)=1-(1-p7)4, (5)
5. По аналогии для квазиэлемента D с учётом того, что р11 = р12 =
=р13 =р14 = р15
PD=1-(1-p11)5, (6)
5.В результате преобразований получена схема с последовательным соединением элемента 1 и квазиэлементов A,B,C,D (рисунок 3).
Рисунок 3 –Схема после завершения преобразований
Соответственно, вероятность безотказной работы всей преобразованной системы будет рассчитываться по формуле:
P=p1∙PA∙PB∙PC ∙PD , (7)
6. Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятности безотказной работы элементов с 1 по 15 подчиняются экспоненциальному закону:
pi= exp(-λit), (8)
Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов с 1 до15 исходной схемы (рисунок 1) , выполненные по формуле (8) заносятся в таблицу 1. Максимальная наработка t выбирается такой, при которой вероятность безотказной работы всей системы P находится в пределах 0,1- 0,2 . Также в таблицу заносятся результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов A, B, C, D по формулам (3),(4),(5) ,(6) и всей системы в целом P по формуле (7).
6. На рисунке 4 представлен график зависимости вероятности безотказной работы системы P от времени (наработки) t.
Рисунок 4 - График зависимости вероятности безотказной работы
системы P от времени (наработки) t.
7 . По графику (рисунок 4) находим для γ=50% (Pγ=0,5) γ - процентный ресурс системы - tγ =1,81∙106 ч.
Таблица 1 – Расчет вероятностей безотказной работы системы
Элементы λ∙10-6 ,
ч-1 Наработка t ∙106 ч
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 tγ =1,81 tγ′ =2,175
1 0,01 0,9950 0,9900 0,9851 0,9802 0,9753 0,9704 0,9821 0,9785
2 ,3 0,05 0,9753 0,9512 0,9277 0,9048 0,8825 0,8607 0,9135 0,8970
4,5, 6, 0,1 0,9512 0,9048 0,8607 0,8187 0,7788 0,7408 0,8344 0,8045
7,8,9,10 0,5 0,7788 0,6065 0,4724 0,3679 0,2865 0,2231 0,4045 0,3371
11,12,13,14,15 1,0 0,6065 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,1637 0,1136
А - 0,9994 0,9976 0,9948 0,9909 0,9862 0,9806 0,9925 0,9894
B
0,9999 0,9991 0,9973 0,9940 0,9892 0,9826 0,9955 0,9925
C
0,9976 0,9760 0,9225 0,8403 0,7408 0,6358 0,8743 0,8068
D
0,9906 0,8991 0,7170 0,5167 0,3484 0,2254 0,5908 0,4528
P
0,9826 0,8660 0,6465 0,4192 0,2455 0,1340 0,5012 0,3511
11′÷15′ 0,76 0,6839 0,4677 0,3198 0,2187 0,1496 0,1023 0,2527 0,1915
D′
0,9968 0,9573 0,8544 0,7089 0,5552 0,4170 0,7669 0,6545
Р′
0,9888 0,9220 0,7703 0,5752 0,3913 0,2479 0,6506 0,5074
D′′
0,9998 0,9839 0,8969 0,7298 0,5374 0,3685 0,7998 0,6622
Р′′
0,9917 0,9477 0,8086 0,5922 0,3788 0,2190 0,6785 0,5134
8. Проверочный расчет показывает (таблица 1), что при tγ =1,81∙106 ч Pγ =0,50 .
9. В соответствии с заданием , рассчитывается повышенный в 1,5 раза гамма – процентный ресурс системы - tγ′ =1,5∙tγ = 1,5∙1,81∙106=2,715∙106 ч.
10. В результате расчета (таблица 1) получено, что при t =2,715∙106 ч для элементов преобразованной схемы (рисунок 3) PA=0,9894; PB=0,9925; PC=0,8068; PD=0,4528 и p1=0,9785.
Следовательно, из всех последовательно соединенных элементов рассматриваемой системы минимальное значение вероятности безотказной работы имеет квазиэлемент D (параллельное соединение элементов 11,12,13,14,15 ) и увеличение его надежности даст увеличение надежности системы в целом.
11. Для того, чтобы при tγ =2,715∙106 ч система в целом имела вероятность безотказной работы Pγ =0,5, необходимо, чтобы у квазиэлемента D вероятность безотказной работы составляла (из формулы 7):
PD=Pγp1∙PA∙PB∙PC, ( 9)
PD=0,50,9785∙0,9894∙0,9925∙0,8068=0,65
12