По структурной схеме надежности технической системы в соответствии с вариантом 7 задания

В исходной системе элементы 2, 6, 9 и 11 образуют последовательное соединение. Заменяем это последовательное соединение соответствующим квазиэлементом A, вероятность безотказной работы которого будет равна:
pA=p2*p6*p9*p11. (1)
В исходной системе элементы 3, 7 и 10 образуют последовательное соединение. Заменяем это последовательное соединение соответствующим квазиэлементом B, вероятность безотказной работы которого будет равна:
pB=p3*p7*p10. (2)
В исходной системе элементы 4 и 8 образуют последовательное соединение. Заменяем это последовательное соединение соответствующим квазиэлементом C, вероятность безотказной работы которого будет равна:
pC=p4*p8. (3)
В исходной системе элементы 12 и 13 соединены параллельно. Заменяем их квазиэлементом D, вероятность безотказной работы которого, учитывая p12=p13, определится следующим образом:
PD=1-1-p12*1-p13=
=1-1-p12*1-p12=1-1-p122. (4)
Преобразованная таким образом схема с элементами A, B, C и D изображена на рисунке 2.
Рисунок 2 – Преобразованная на первом этапе схема
В схеме по рисунку 2 имеет место параллельное соединение элементов: A, B, C и 5. Заменяем их квазиэлементом E с вероятностью безотказной работы:
pE=1-1-pA*1-pB*1-pC*1-p5. (5)
В результате второго этапа преобразований получаем схему, показанную на рисунке 3.
Рисунок 3 – Преобразованная на втором этапе схема
В схеме по рисунку 3 имеет место последовательное соединение четырех элементов: 1, E, D и 14. Соответственно вероятность безотказной работы системы будет равна:
P=p1*pE*pD*p14. (6)
Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятности безотказной работы элементов с 1 по 14 (рисунок 1) подчиняются экспоненциальному закону:
pi=e-λi*t. (7)
Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов 1-14 по формуле (7) для наработки до 3,6*106 ч представлены в таблице 1.
Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов A, B, С, D, Е а также системы в целом по формулам (1) - (6) также приведены в таблице 1.
На рисунке 4 показан график зависимости вероятности безотказной работы системы P от времени (наработки) t.
По графику (рисунок 4) находим для γ=65 % (Pγ=0,65) γ-процентную наработку системы Tγ=1,558*106 ч. Проверочный расчет при t=1,558*106 ч показывает (таблица 1), что Pγ=0,65013≈0,65.
Исходя из задания, рассчитываем повышенный в 1,5 раза ресурс службы системы:
Tγ'=1,5*Tγ=1,5*1,558*106=2,337*106 ч.
Далее рассмотрим метод, предполагающий увеличение надежности системы за счет увеличения надежности входящих в нее элементов.
По результатам расчета (Таблица 1) видим, что при t=2,337*106 ч для элементов преобразованной схемы (Рисунок 3):
p1=0,88972; pD=0,86059; pE=0,71610; p14=0,79160.
Следовательно, из четырех последовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент E, поэтому увеличение именно его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом.
Для того, чтобы при Tγ'=2,337*106 ч система имела вероятность безотказной работы Pγ=0,65, необходимо, чтобы элемент E имел вероятность безотказной работы:
pE=PγpD*p14*p1=0,650,86059*0,7966*0,88972,
но значение произведения
pD*p14*p1=0,86059*0,7966*0,88972=0,60612.
Таким образом, увеличение надежности только квазиэлемента E не позволяет обеспечит нужную надежность всей системы в целом . Поэтому следует увеличивать надежность сразу двух элементов, имеющих при t=2,337*106 ч наименьшие значения вероятности безотказной работы:
pE=0,71610 и p14=0,79160.
Таблица 1
Элемент λi,
10-6 1/ч Наработка t, 106 ч
0,6 1,2 1,8 2,4 3,0 3,6 1,558 2,337
1, 6, 7, 8 0,05
0,97045 0,94176 0,91393 0,88692 0,86071 0,83527 0,92506 0,88972
2, 3, 4, 5 0,5
0,74082 0,54881 0,40657 0,30119 0,22313 0,16530 0,45886 0,31083
9, 10 0,1
0,99700 0,99402 0,99104 0,98807 0,98511 0,98216 0,99224 0,98838
11, 14 1,0
0,94176 0,88692 0,83527 0,78663 0,74082 0,69768 0,85573 0,79160
12, 13 0,5
0,88692 0,78663 0,69768 0,61878 0,54881 0,48675 0,73227 0,62663
А -
0,67503 0,45566 0,30759 0,20763 0,14016 0,09461 0,36042 0,21638
В -
0,71677 0,51376 0,36825 0,26395 0,18919 0,13561 0,42118 0,27334
С -
0,71892 0,51685 0,37158 0,26714 0,19205 0,13807 0,42448 0,27655
D -
0,98721 0,95447 0,90860 0,85467 0,79643 0,73658 0,92832 0,86059
E -
0,99329 0,94230 0,83687 0,70131 0,56241 0,43694 0,88471 0,71610
P -
0,89620 0,75124 0,58046 0,41818 0,28560 0,18755 0,65013 0,43404
2', 3', 4', 5' 0,1
0,94176 0,89279 0,83527 0,78663 0,74082 0,69768 0,85573 0,79160
14' 0,05
0,97045 0,94488 0,91393 0,88692 0,86071 0,83527 0,92506 0,88972
А' -
0,85813 0,74888 0,63192 0,54227 0,46533 0,39932 0,67214 0,55105
В' -
0,91119 0,83881 0,75654 0,68935 0,62814 0,57235 0,78546 0,69612
С' -
0,91393 0,84358 0,76338 0,69768 0,63763 0,58275 0,79160 0,70430
Е' -
0,99994 0,99932 0,99651 0,99083 0,98133 0,96760 0,99789 0,99159
P' -
0,92966 0,85545 0,75628 0,66614 0,57899 0,49724 0,79271 0,67552
2’’, 3’’, 4’’, 5’’ -
0,99883 0,98482 0,92640 0,83336 0,71703 0,59481 0,95360 0,84454
14’’ -
0,99661 0,98851 0,97286 0,95447 0,93282 0,90860 0,97919 0,95657
А’’ -
0,91013 0,82608 0,70086 0,57448 0,45039 0,34044 0,74901 0,58790
В’’ -
0,96641 0,92527 0,83908 0,73031 0,60796 0,48797 0,87529 0,74267
С’’ -
0,96931 0,93053 0,84667 0,73912 0,61715 0,49683 0,88213 0,75140
Е’’ -
0,9999999 0,999986 0,999457 0,995011 0,976658 0,931147 0,999829 0,995902
P’’ -
0,95479 0,89555 0,80743 0,71991 0,62452 0,52052 0,84073 0,72943
Для того, чтобы при Tγ'=2,337*106 ч система имела вероятность безотказной работы Pγ=0,65, необходимо, чтобы произведение вероятностей безотказной работы элементов E и 14 было равно:
pE*p14=PγpD*p1=0,650,86059*0,88972=0,84891. (8)
При этом значение pE*p14 по формуле (8) является минимальным для выполнения условия увеличения ресурса не менее чем в 1,5 раза, при более высоких значениях pE*p14 увеличение надежности системы будет еще большим.
По данным таблицы 1 предварительно вычисляем значения произведений pE*p14 и строим график зависимости pE;14(t)=fpE (рисунок 5), по которому графически устанавливается значение pE≈0,95.
Тогда в соответствии с формулой (8):
p14=pE*p14pE=0,848910,95=0,8936.
В соответствии с рисунком 2 рассматриваемый элемент E состоит из элементов A, B, C и 5, вероятности которых при t=2,337*106 ч равны:
pA=0,21638; pB=0,27334; pC=0,27655; p5=0,31083.
Следовательно, минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент A и необходимо определить, какое минимальное значение вероятности безотказной работы элемента A обеспечит pE = 0,955