По структурной схеме надежности технической системы в соответствии с вариантом 13 задания

В исходной системе элементы 2 и 4; 3 и 5 попарно образуют последовательное соединение. Заменяем эти последовательные соединения соответствующим квазиэлементом A, вероятности безотказной работы которого, учитывая p2=p3=p4=p5, будет равна на примере элементов 2 и 4:
pA=p2*p4=p2*p2=p22. (1)
В исходной системе элементы 6, 7 и 9 образуют эквивалентную схему «звезда». Заменим ее эквивалентной схемой «треугольник». В этом случае соответствующие вероятности отказов элементов будут равны, учитывая p6=p7, а значит и q6=q7:
q69=q6*q9q7=q6*q9q6=q9; q79=q7*q9q6=q6*q9q6=q9;
q67=q6*q7q9=q6*q6q9=q6q9.
Таким образом, следует ввести два квазиэлемента B и C, вероятности безотказной работы которых буду равны:
pB=p69=p79=1-1-p9. (2)
pC=p67=1-1-p61-p9. (3)
В исходной системе элементы 11, 12 и 13 соединены параллельно. Заменяем их квазиэлементом D, вероятность безотказной работы которого, учитывая p11=p12=p13, определится следующим образом:
PD=1-1-p11*1-p12*1-p13=
=1-1-p11*1-p11*1-p11=1-1-p113. (4)
Преобразованная таким образом схема с элементами A, B, C и D изображена на рисунке 2.
Рисунок 2 – Преобразованная на первом этапе схема
В схеме по рисунку 2 имеет место попарное параллельное соединение двух пар элементов: 8 и В; 10 и В. Учитывая p8=p10, заменяем их квазиэлементом E с вероятностью безотказной работы:
pE=1-1-p8*1-pB. (5)
В результате второго этапа преобразований получаем схему, показанную на рисунке 3.
Рисунок 3 – Преобразованная на втором этапе схема
В схеме по рисунку 3 элементы A, А, Е, Е и C образуют мостиковую схему, которую можно заменить квазиэлементом F. Для расчета его вероятности безотказной работы воспользуемся методом разложения относительно любого элемента – в данном случае относительно диагонального элемента C. Тогда:
pF=pC*pFpC=1+qC*pFpC=0, (6)
где pFpC=1 и pFpC=0 – вероятности работы мостиковой схемы (рисунок 3) при абсолютно надежном (рисунок 4, а) и абсолютно ненадежном (рисунок 4, б) элементе C.
Рисунок 4. Преобразования мостиковой схемы при абсолютно надежном (а)
и отказавшем (б) элементе C
В результате получаем:
pF=pC*1-1-pA*1-pA*1-1-pE*1-pE+
+1-pC*1-1-pA*pE*1-pA*pE=
=pC*1-1-pA2*1-1-pE2+
+1-pC*1-1-pA*pE2. (7)
В результате третьего этапа преобразований получаем схему, показанную на рисунке 5.
Рисунок 5 – Преобразованная на третьем этапе схема
В схеме по рисунку 5 имеет место последовательное соединение четырех элементов: 1, F, D и 14. Соответственно вероятность безотказной работы системы будет равна:
P=p1*pF*pD*p14. (8)
Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятности безотказной работы элементов с 1 по 14 (рисунок 1) подчиняются экспоненциальному закону:
pi=e-λi*t. (9)
Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов 1-14 по формуле (9) для наработки до 1,8*106 ч представлены в таблице 1 .
Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов A, B, С, D, Е, F а также системы в целом по формулам (1) - (8) также приведены в таблице 1.
На рисунке 6 показан график зависимости вероятности безотказной работы системы P от времени (наработки) t.
По графику (рисунок 6) находим для γ=70 % (Pγ=0,7) γ-процентную наработку системы Tγ=0,753*106 ч. Проверочный расчет при t=0,753*106 ч показывает (таблица 1), что Pγ=0,70048≈0,7.
Исходя из задания, рассчитываем повышенный в 1,5 раза ресурс службы системы:
Tγ'=1,5*Tγ=1,5*0,753*106=1,1295*106 ч.
Далее рассмотрим метод, предполагающий увеличение надежности системы за счет увеличения надежности входящих в нее элементов.
По результатам расчета (Таблица 1) видим, что при t=1,1295*106 ч для элементов преобразованной схемы (Рисунок 5):
p1=0,98877; pD=0,91966; pF=0,58398; p14=0,89320.
Следовательно, из четырех последовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент F, поэтому увеличение именно его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом.
Для того, чтобы при Tγ'=1,1295*106 ч система имела вероятность безотказной работы Pγ=0,7, необходимо, чтобы элемент F имел вероятность безотказной работы:
pF=PγpD*p14*p1=0,70,91966*0,8932*0,98877=0,86184. (10)
Таблица 1
Элемент λi,
10-6 1/ч Наработка t, 106 ч
0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 0,753 1,1295
1 0,01
0,99700 0,99402 0,99104 0,98807 0,98511 0,98216 0,99250 0,98877
2, 3, 4, 5 0,2
0,94176 0,88692 0,83527 0,78663 0,74082 0,69768 0,86019 0,79780
6, 7 0,1
0,97045 0,94176 0,91393 0,88692 0,86071 0,83527 0,92747 0,89320
8, 9, 10 1,0
0,74082 0,54881 0,40657 0,30119 0,22313 0,16530 0,47095 0,32319
11, 12, 13 0,5
0,86071 0,74082 0,63763 0,54881 0,47237 0,40657 0,68626 0,56850
14 0,1
0,97045 0,94176 0,91393 0,88692 0,86071 0,83527 0,92747 0,89320
А -
0,88692 0,78663 0,69768 0,61878 0,54881 0,48675 0,73993 0,63648
В -
0,49090 0,32829 0,22966 0,16405 0,11860 0,08638 0,27264 0,17732
С -
0,94195 0,91330 0,88827 0,86473 0,84197 0,81970 0,90028 0,87017
D -
0,99730 0,98259 0,95242 0,90815 0,85311 0,79102 0,96912 0,91966
E -
0,86805 0,69693 0,54285 0,41584 0,31527 0,23740 0,61519 0,44320
F -
0,96869 0,86066 0,70702 0,54752 0,40612 0,29190 0,78522 0,58398
P -
0,93471 0,79166 0,60991 0,43574 0,29376 0,18942 0,70048 0,47431
8', 9', 10' 0,09
0,97336 0,94743 0,92219 0,89763 0,87372 0,85044 0,93448 0,90334
B' -
0,83679 0,77072 0,72106 0,68004 0,64464 0,61327 0,74402 0,68910
C' -
0,81892 0,74600 0,69144 0,64658 0,60803 0,57404 0,71664 0,65647
E' -
0,99565 0,98795 0,97830 0,96725 0,95512 0,94216 0,98323 0,96995
F' -
0,98704 0,95332 0,90541 0,84847 0,78650 0,72251 0,93030 0,86244
P' -
0,95242 0,87689 0,78105 0,67526 0,56891 0,46886 0,82990 0,70048
F'' -
0,99997 0,99729 0,97485 0,90736 0,79054 0,64496 0,99009 0,92800
P'' -
0,96489 0,91734 0,84095 0,72212 0,57183 0,41853 0,88324 0,75373
При этом значение pF по формуле (10) является минимальным для выполнения условия увеличения ресурса не менее чем в 1,5 раза, при более высоких значениях pF увеличение надежности системы будет еще большим.
В соответствии с рисунком 3 рассматриваемый элемент F состоит из элементов A, C и E, вероятности которых при t=1,1295*106 ч равны:
pA=0,63648; pC=0,87017; pE=0,44320.
Следовательно, минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент E и необходимо определить, какое минимальное значение вероятности безотказной работы элемента E обеспечит pF = 0,86184