По структурной схеме надежности технической системы, требуемому значению вероятности безотказной работы системы γ=80% и значениям интенсивностей отказов ее элементов λi (рисунок 1) требуется:
1. Построить график изменения вероятности безотказной работы системы от времени наработки в диапазоне снижения вероятности до уровня 0,1 – 0,2.
2. Определить γ - процентную наработку технической системы.
3. Обеспечить увеличение - процентной наработки не менее, чем в 1.5 раза за счет:
а) повышения надежности элементов;
б) структурного резервирования элементов системы
Все элементы системы работают в режиме нормальной эксплуатации (простейший поток отказов). Резервирование отдельных элементов или групп элементов осуществляется идентичными по надежности резервными элементами или группами элементов. Переключатели при резервировании считаются идеальными.
λ1 =0,6∙10-6 1/ч
λ2 =λ3 =0,65∙10-6 1/ч
λ4 =0,4∙10-6 1/ч
λ5= λ6 =0,65∙10-6 1/ч
λ7= λ8 =λ9 =0,5∙10-6 1/ч
λ10 =λ11= λ12 =0,3∙10-6 1/ч
λ13 =λ14= 0,65∙10-6 1/ч
λ15 =0,5∙10-6 1/ч
Рисунок 1 – Исходная схема надежности технической системы
Решение
1. В исходной схеме элементы 2, 3, 4, 5 и 6 образуют мостиковую систему (рисунок 2), которую можно заменить квазиэлементом А.
Рисунок 2 – Схема с квазиэлементом А
Для расчета вероятности безотказной работы квазиэлемента А воспользуемся методом разложения относительно особого элемента , в качестве которого выберем элемент 4.
а
б в
Рисунок 3 – Мостиковое соединение (а) и преобразования мостикового
соединения при абсолютно надежном (б) и отказавшем
элементе 4 (в).
Тогда
PА=p4∙PА(p4=1)+q4∙PА(p4=0), (1)
где PА(p4=1) - вероятность безотказной работы мостиковой схемы
при абсолютно надежном элементе 4 (рис. 3б);
PА(p4=0) - вероятность безотказной работы мостиковой схемы при
отказавшем элементе 4 (рис. 3в).
Схема на рисунке 2б представляет собой последовательное 3соединение двух параллельных соединений , а схема 3в – параллельное соединение двух последовательных.
Вероятность безотказной работы последовательного соединения определяется по формуле:
Pпосл(t)=i=1npi , (2)
где pi – вероятность безотказной работы i-го элемента система.
Вероятность безотказной работы системы с параллельным соединением элементов рассчитывается по формуле:
Pпар =1 – i=1n(1-pi) , (3)
где pi (t) - вероятность безотказной работы i-го элемента
Запишем формулу (1) с учетом преобразований мостиковой схемы :
pА=p4∙1-(1-p2)∙(1-p3)∙1-(1-p5)∙(1-p6) +
+(1-p4)∙1-(1-p2p5)∙(1-p3 p6), (4)
Учитывая равнонадежность элементов мостикового соединения, то есть что
р2 = р3 = р5 =р6 , из формулы (4) получим
PА=p4∙1-(1-p2)∙(1-p3)∙1-(1-p5)∙(1-p6) +
+(1-p4)∙1-(1-p2p5)∙(1-p3 p6)=p4∙1-(1-p2)2×
×1-(1-p2)2+(1-p4)∙1-(1-p22)2=p4(2p2-p22)×
×(2p2-p22)+(1-p4)(2p22-p24)=p4p22(2-p2)(2-p2)+
+p22(1-p4)(2-p22)=p22[p4(2-p2)2+(1-p4)(2-p22)] , (5)
2. Элементы 7,8,9 образуют параллельное соединение . Заменяем их квазиэлементом В (рисунок 4). Вероятность безотказной работы системы с параллельным соединением элементов рассчитывается по формуле (3).
а)
б)
Рисунок 4 – Параллельное соединение элементов 7,8,9 (а) и схема с квазиэлементами А и В(б)
Учитывая, что элементы 7,8 и 9 равнонадежны, то есть р7 =р8=р9, получим
pB=1-(1-p7)∙(1-p8)∙(1-p9)=1-(1-p7)3, (6)
3. Элементы 10,11,12 также образуют параллельное соединение трех равнонадежных элементов. Заменяем их квазиэлементом C (рисунок 5). Учитывая, что р10 = =р11=р12, получим
pC=1-(1-p10)∙(1-p11)∙(1-p12)=1-(1-p10)3, (7)
а
б
Рисунок 5 – Параллельное соединение элементов 10,11,12 (а) и схема с квазиэлементами А , В, С (б)
4. Элементы 13 и 14 также образуют параллельное соединение равнонадежных элементов (рисунок 6), заменив которое квазиэлементом D и учитывая, что р13 =р14, получим
pD=1-(1-p13)∙(1-p14)=1-(1-p13)2, (8)
а)
б)
Рисунок 6 – Параллельное соединение элементов 13,14 (а) и схема с квазиэлементами А, В,С,D (б)
5
. Схема расчета надежности , полученная после преобразований , изображена на рисунке 7.
Рисунок 7 – Преобразованная схема
6. В преобразованной схеме элементы 1, A,В,C,D и 15 образуют последовательное соединение (рисунок 7). Соответственно, вероятность безотказной работы всей системы рассчитывается по формуле (2):
P=p1∙PA∙PB∙Pc∙PD∙p15 , (9)
7. Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятности безотказной работы элементов от 1 до15 подчиняются экспоненциальному закону:
pi= exp(-λit), (10)
8. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов от 1 до15 исходной схемы по формуле (10) заносятся в таблицу 1. Максимальная наработка t выбирается такой, при которой вероятность безотказной работы всей системы P находится в пределах 0,1-0,2 . Также в таблицу 1 заносятся результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов A, B, C, D и всей системы в целом.
Гамма- процентный ресурс tγ для γ=80% определяем графоаналитическим способом , для чего строим график зависимости вероятности безотказной работы системы P от времени (наработки) t (рисунок 8)
Рисунок 8 – График зависимости вероятности безотказной работы
системы P от времени (наработки) t.
По графику (рисунок 8) находим для γ=80% (Pγ=0,80) γ - процентный ресурс системы - tγ =0,17 млн.ч. Проверочный расчет при tγ =0,17∙106 ч показывает (таблица 1), что Pγ =0,80 .
Исходя из задания , рассчитывается повышенный в 1,5 раза γ – процентный ресурс системы - tγ′ =1,5∙tγ = 1,5∙0,17∙106=0,255∙106 ч.
Таблица 1 – Расчет вероятности безотказной работы системы
Элемент λ · 10 --6
1/ч Наработка t·106, ч
0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90 0,170 0,255
1 0,60 1,0 0,9139 0,8353 0,7634 0,6977 0,6376 0,5827 0,9030 0,8581
2, 3, 5, 6,
13,14 0,65 1,0 0,9071 0,8228 0,7464 0,6771 0,6142 0,5571 0,8954 0,8473
4 0,4 1,0 0,9418 0,8869 0,8353 0,7866 0,7408 0,6977 0,9343 0,9030
7, 8, 9, 15 0,5 1,0 0,9277 0,8607 0,7985 0,7408 0,6873 0,6376 0,9185 0,8803
10, 11, 12 0,3 1,0 0,9560 0,9139 0,8737 0,8353 0,7985 0,7634 0,9503 0,9264
A - 1,0 0,9820 0,9334 0,8637 0,7819 0,6953 0,6094 0,9771 0,9506
B - 1,0 0,9996 0,9973 0,9918 0,9826 0,9694 0,9524 0,9995 0,9983
C - 1,0 0,9999 0,9994 0,9980 0,9955 0,9918 0,9868 0,9999 0,9996
D - 1,0 0,9914 0,9686 0,9357 0,8957 0,8511 0,8038 0,9891 0,9767
P - 1,0 0,8251 0,6478 0,4876 0,3541 0,2494 0,1711 0,80 0,70
1′ 0,075 1,0 0,9888 0,9778 0,9668 0,9560 0,9453 0,9347 0,9873 0,9811
P′ - 1,0 0,8927 0,7583 0,6176 0,4852 0,3697 0,2744 0,8758 0,8001
1″ - 1,0 0,9994 0,9955 0,9868 0,9724 0,9524 0,9274 0,9991 0,9971
P″ - 1,0 0,9022 0,7721 0,6303 0,4935 0,3725 0,2722 0,8862 0,8133
Расчет показывает (таблица 1), что при t = 0,255∙106 ч для элементов преобразованной схемы (рисунок 7) p1=0,8581; PA=0,9506; PB=0,9983; PC=0,9996; PD=0,9767; p15=0,8803
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
