По результатам наблюдений найти точечные и интервальные оценки коэффициентов уравнения линейной регрессии у = 0 + 1 х1 + 2 х2 и проверить общее качество уравнения линейной регрессии

По результатам наблюдений найдем точечные и интервальные оценки коэффициентов уравнения линейной регрессии у = 0 + 1 х1 + 2 х2 и проверим общее качество уравнения линейной регрессии:
Для удобства проведения расчетов поместим результатыпромежуточных расчетов в таблицу:
Таблица 1
№
1 2 3 2 3 6 4 9 1
9 5 3 45 27 15 25 9 81
4 7 4 28 16 28 49 16 16
1 1 6 1 6 6 1 36 1
5 3 8 15 40 24 9 64 25
2 1 1 2 2 1 1 1 4
7 5 5 35 35 25 25 25 49
1 1 7 1 7 7 1 49 1
3 2 6 6 18 12 4 36 9
2 2 2 4 4 4 4 4 4
сумма 35 29 45 139 158 128 123 249 191
ср.знач. 3,5 2,9 4,5 13,9 15,8 12,8 12,3 24,9 19,1
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
Для нахождения параметров линейного уравнения множественнойрегрессии у = 0 + 1 х1 + 2 х2 необходимо решить систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров 0 , 1 , 2  воспользоваться готовыми формулами.
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
Находим но формулам коэффициенты чистой регрессии ипараметр :
Таким образом, получили следующее уравнение множественнойрегрессии:
Доверительные интервалы для параметров чистой регрессии:
,
.
Рассчитаем стандартные ошибки коэффициентов регрессии по формулам:
Табличное значение критерия при уровне значимости ичисле степеней свободы составит .Доверительные интервалы для параметров чистой регрессии:


Коэффициент множественной детерминации определим через матрицыпарных коэффициентов корреляции:
,
где
определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
определитель матрицы межфакторной корреляции.Находим:
Коэффициент множественной корреляции:
Коэффициент множественной детерминации оценивает долю дисперсии результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 53% и указывает на весьма низкую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами - на слабую связь факторов с результатом.
Оценку надежности уравнения регрессии в целом ипоказателятесноты связи дает критерий Фишера:
В нашем случае фактическое значение критерия Фишера:
Получили, что(при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение критерия превышает допустимый уровень значимости 5%. Следовательно, полученное значение случайно, оно сформировалось под влиянием не существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая не значимость всего уравнения и показателя тесноты связи.
Все ли коэффициенты статистически значимы?
Анализ верхней и нижней границы доверительного интервала параметра 1  приводят к выводу о том, что с вероятностью параметр 1  находясь в указанных границах, не принимает нулевого значения, т.е . является статистически значимым и существенно отличным от нуля, а анализ верхней и нижней границ доверительного интервала параметра 2приводят к выводу о том, что с вероятностью параметр 2 находясь в указанных границах, принимает нулевое значение, т.е. является статистически не значимым и не существенно отличным от нуля.
Проверим наличие гетероскедастичности с помощью теста ранговой корреляции Спирмена:
Присвоим ранги признаку Yрасч и фактору X1.
Данные для расчета коэффициента представлены в таблице 2.
Таблица 2
X1 Yрас ранг X, dx ранг Yрас, dy
2 2,53 4 6
5 5,44 8 3
7 7,44 10 1
1 1,75 1 9
3 3,82 7 4
1 1,44 1 10
5 5,56 8 2
1 1,82 1 8
2 2,72 4 5
2 2,47 4 7
Сумма 48 55
Так как в матрице имеются связанные ранги (одинаковый ранговый номер) 1-го ряда, произведем их переформирование. Переформирование рангов производиться без изменения важности ранга, то есть между ранговыми номерами должны сохраниться соответствующие соотношения (больше, меньше или равно). Также не рекомендуется ставить ранг выше 1 и ниже значения равного количеству параметров (в данном случае n = 10). Переформирование рангов производится в таблице 3
Таблица 3
Номера мест в упорядоченном ряду Расположение факторов по оценке эксперта Новые ранги
1 1 2
2 1 2
3 1 2
4 4 5
5 4 5
6 4 5
7 7 7
8 8 8,5
9 8 8,5
10 10 10
Матрица рангов.
ранг X, dx ранг Yрас, dy (dx - dy)2
5 6 1
8,5 3 30,25
10 1 81
2 9 49
7 4 9
2 10 64
8,5 2 42,25
2 8 36
5 5 0
5 7 4
55 55 316,5
Проверка правильности составления матрицы на основе исчисления контрольной суммы:
Сумма по столбцам матрицы равны между собой и контрольной суммы, значит, матрица составлена правильно.
Поскольку среди значений признаков х и у встречается несколько одинаковых, т.е. образуются связанные ранги, то в таком случае коэффициент Спирмена вычисляется как:
В таком случае коэффициент Спирмена вычисляется как:
Где
j - номера связок по порядку для признака х;Аj - число одинаковых рангов в j-й связке по х;k - номера связок по порядку для признака у;Вk - число одинаковых рангов в k-й связке по у.
D = A + B = 4,5 + 0 = 4,5.
В таком случае коэффициент Спирмена вычисляется как:
Связь между признаком Y и фактором X тесная и обратная.
Значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена.Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена при конкурирующей гипотезе Hi