По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (у, млн. руб.) от объема капиталовложений (х, млн. руб.). Исходные данные:
Y X
60,00 50,00
68,00 54,00
74,00 60,00
76,00 62,00
84,00 70,00
86,00 66,00
92,00 74,00
Требуется:
Для характеристики Y от X построить следующие модели:
линейную,
степенную,
показательную,
гиперболическую.
Оценить каждую модель, определив:
индекс корреляции,
среднюю относительную ошибку,
коэффициент детерминации,
F - критерий Фишера.
Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.
Рассчитать прогнозное значение результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 110% относительно среднего уровня.
Результаты расчетов отобразить на графике.
Решение
Рассмотрим по отдельности уравнения линейной, степенной, показательной и гиперболической регрессии и на основе показателей качества и адекватности данных уравнений, выберем наилучшее.
Рассмотрим линейную регрессию вида: y=a+b×x. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии используем пакет анализа Microsoft Excel. Выполняем следующие этапы «Данные → Анализ данных → Регрессия» и заполняем необходимые поля диалогового меню (рисунок 1).
Рис.1. Ввод параметров инструмента «Регрессия»
Результаты построения парной линейной регрессии представлены на рисунке 2.
Рис.2. Вывод итогов регрессии
Таким образом, уравнение линейной парной регрессии, описывающее зависимость между объемом выпуска продукции (у) и объемом капиталовложений (х) имеет вид: y = -2,063+1,272×x.
Коэффициент парной корреляции определяется с помощью формулы 1, либо с помощью встроенной функции «КОРРЕЛ», в нашем случае его значение определено с помощью пакет анализа Microsoft Excel «Анализ данных. Регрессия» (рисунок 2).
ryx=yx-xynx2-x2n×y2-(y)2n (1)
ryx=0,979
Таким образом, значение коэффициента корреляции 0,979 говорит о наличии между объемом капиталовложений (х) и объемом выпуска продукции (у) весьма высокой, прямой корреляционной связи, т.к. значение по шкале Чеддока входит в интервал 0,9 <rxy< 0,99.
Определим значение коэффициента детерминации. Данное значение также определено при помощи пакета анализа Microsoft Excel «Анализ данных. Регрессия» (рисунок 2).
R2=rxy2=0,9792=0,958.
Значение коэффициента детерминации показывает, что вариация результативного признака у - на 95,8% объясняется вариацией фактора х. На долю неучтенных в моделе факторов приходится 4,2%. Следовательно, качество модели хорошее.
Средняя ошибка аппроксимации определяется по формуле 2.
Eотн=1n×y-yy×100%, (2)
где y – предсказанное значение признака;
y-y – остатки.
Для оценки уравнения парной линейной регрессии построим вспомогательную таблицу 1, используя в расчете данные, полученные с помощью пакета анализа Excel «Регрессия».
Таблица 1
Определение средней относительной ошибки
Наблюдение Предсказанное Y Остатки Е
1 61,520 -1,520 2,53
2 66,606 1,394 2,05
3 74,236 -0,236 0,32
4 76,780 -0,780 1,03
5 86,953 -2,953 3,52
6 81,866 4,134 4,81
7 92,039 -0,039 0,04
сумма 14,29
среднее 2,04
Таким образом, средняя относительная ошибка Eотн=2,04 на основании чего можно сказать, что в среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 2,04%. Поскольку ошибка менее 7-10%, ошибка допустимая, следовательно, уравнение значимо и надежно.
Для оценки качества модели используем критерий Фишера. Находим табличное значение F-критерия на уровне значмости а = 0,05 и F - критерий фактический.
Fфакт=R21-R2×n-m-1=0,9581-0,958×7-1-1=114,588.
Найдем табличное значение F-критерия Фишера:
Fтабл= (а=0,05;k1=1; k2=7-1-1=5) = 6,608.
Значение Fфакт=114,588> Fтабл=6,608, следовательно, выявленная зависимость между объемом выпуска продукции (у) от объемом капиталовложений (х) носит неслучайный характер. Таким образом, на основе всех рассчитанных коэффициентов можно сделать вывод о том, что полученное уравнение y = -2,063+1,272×x статистически значимо, надежно и может быть использовано для прогноза.Рассмотрим степенную модель вида: ŷ = a × xb. Для построения нелинейной регрессии необходимо привести ее к виду линейного уравнения с помощью линеаризации. Линеаризующее преобразование: x' = Ln(x), y' = Ln(y).
Строим вспомогательную таблицу 2 для расчета параметров уравнения степенной модели.
Таблица 2
Вспомогательная таблица для расчета параметров степенной регрессии
№ y x Ln(y) Ln(x)
1 2 3 4 5
1 60,00 50,00 4,09 3,91
2 68,00 54,00 4,22 3,99
3 74,00 60,00 4,30 4,09
4 76,00 62,00 4,33 4,13
5 84,00 70,00 4,43 4,25
Продолжение таблицы 2
№ y x Ln(y) Ln(x)
1 2 3 4 5
6 86,00 66,00 4,45 4,19
7 92,00 74,00 4,52 4,30
Для расчета параметров уравнения степенной регрессии используем пакет анализа Microsoft Excel
. Выполняем следующие этапы «Данные → Анализ данных → Регрессия» и заполняем необходимые поля диалогового меню (рисунок 3).
Рис.3. Ввод параметров инструмента «Регрессия»
Результаты инструмента «Регрессии» представлены на рисунке 4.
Рис.4. Вывод итогов регрессии
Находим значение параметра а:
b=a=e0,049=1,050.
Таким образом, уравнение парной степенной регрессии имеет вид: y = 1,050 × x1,040.
Для расчета показателей качества построенной модели, составляем вспомогательную таблицу 3, используя в расчете данные, полученные с помощью пакета анализа Excel «Регрессия».
Таблица 3
Вспомогательная таблица для расчета показателей качества
№ y x ŷ Еотн (y-ŷ)² (y-yср)²
1 2 3 4 5 6 7
1 60,00 50,00 61,350 2,25 1,821 293,878
2 68,00 54,00 66,461 2,26 2,369 83,592
3 74,00 60,00 74,156 0,21 0,024 9,878
4 76,00 62,00 76,728 0,96 0,530 1,306
5 84,00 70,00 87,048 3,63 9,289 47,020
6 86,00 66,00 81,882 4,79 16,962 78,449
7 92,00 74,00 92,226 0,25 0,051 220,735
сумма 540,00 436,00 539,85 14,34 31,05 734,86
среднее 77,14 62,29 77,12 2,05 4,44 104,98
Для нелинейных функций вместо коэффициента корреляции находим индекс корреляции по формуле:
R=1-y-y2y-y2=1-31,05734,86=0,979.
Таким образом, значение индекса корреляции 0,979 говорит о наличии между объемом капиталовложений (х) и объемом выпуска продукции (у) весьма высокой, прямой корреляционной связи, т.к. значение по шкале Чеддока входит в интервал 0,9 <rxy< 0,99.
Определим значение коэффициента детерминации.
R2=0,9792=0,958.
Значение коэффициента детерминации показывает, что вариация результативного признака у - на 95,8% объясняется вариацией фактора х. На долю неучтенных в моделе факторов приходится 4,2%. Следовательно, качество модели хорошее.
Определим значение средней относительной ошибки, пользуясь данными таблицы 3.
Eотн=y-y/yn×100%=14,347=2,05%.
Значение средней относительной ошибки показывает, что в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 2,05%, ошибка допустимая, следовательно, уравнение значимо и надежно.Для оценки качества модели используем критерий Фишера. Находим табличное значение F-критерия на уровне значмости а = 0,05 и F - критерий фактический.
Fфакт=R21-R2×n-m-1=0,9581-0,958×7-1-1=113,351.
Табличное значение F-критерия Фишера остается прежним:
Fтабл= (а=0,05;k1=1; k2=7-1-1=5) =6,608.
Значение Fфакт=113,351> Fтабл=6,608, следовательно, выявленная зависимость объема выпуска продукции (у) от объемов капиталовложений (х) носит неслучайный характер. Таким образом, на основе всех рассчитанных коэффициентов можно сделать вывод о том, что полученное уравнение y = 1,050 × x1,040 статистически значимо, надежно и может быть использовано для прогноза.
Рассмотрим показательную модель вида: ŷ = a × bx. Линеаризующее преобразование: y' = Ln(y).
Для расчета параметров уравнения показательной регрессии используем пакет анализа Microsoft Excel. Выполняем следующие этапы «Данные → Анализ данных → Регрессия» и заполняем необходимые поля диалогового меню (рисунок 5).
Рис.5. Ввод параметров инструмента «Регрессия»
Результаты инструмента «Регрессии» представлены на рисунке 6.
Рис.6. Вывод итогов регрессии
Находим значения коэффициента регрессии b и параметра а:
b=e0,017=1,017;
a=e3,284=26,690.
Таким образом, уравнение парной показательной регрессии имеет вид: y=26,690 × 1,017x.
Для расчета показателей качества построенной модели, составляем вспомогательную таблицу 4, используя в расчете данные, полученные с помощью пакета анализа Excel «Регрессия».
Таблица 4
Вспомогательная таблица для расчета показателей качества
№ y x ŷ Eотн (y-ŷ)² (y-yср)²
1 2 3 4 5 6 7
1 60,00 50,00 62,113 3,52 4,467 293,878
2 68,00 54,00 66,456 2,27 2,384 83,592
3 74,00 60,00 73,545 0,61 0,207 9,878
4 76,00 62,00 76,073 0,10 0,005 1,306
5 84,00 70,00 87,081 3,67 9,492 47,020
6 86,00 66,00 81,391 5,36 21,244 78,449
7 92,00 74,00 93,169 1,27 1,366 220,735
сумма 540,00 436,00 539,83 16,80 39,17 734,86
среднее 77,14 62,29 77,12 2,40 5,60 104,98
Находим индекс корреляции по формуле:
R=1-y-y2y-y2=1-39,17734,86=0,973.
Таким образом, значение индекса корреляции 0,973 говорит о наличии между объемом капиталовложений (х) и объемом выпуска продукции (у) весьма высокой, прямой корреляционной связи, т.к
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
