По плану производства предприятию надо изготовить 88 изделий

Обозначим х1 – количество изделий, изготавливаемых по первому технологическому способу, по второму – х2. Суммарные затраты на их производство составят:
F(X) = 11x1+x12+7x2+x22
При этом общее число изделий должно составлять 88 единиц, т.е. x1+x2=88.
Тогда математическая модель задачи будет иметь вид:
F(X) = 11x1+x12+7x2+x22 → min
x1+x2=88,
х1>0,
х2>0.
Найдем экстремум функции F(X) = 11x1+x12+7x2+x22, используя функцию Лагранжа:
где F(X) - целевая функция вектора X
φi(X) - ограничения в неявном виде (i=1..n)
В качестве целевой функции, подлежащей оптимизации, в этой задаче выступает функция:
F(X) = 11x1+x12+7x2+x22
Перепишем ограничение задачи в неявном виде:
φ1(X) = x1+x2-88 = 0
Составим вспомогательную функцию Лагранжа:
L(X, λ) = 11x1+x12+7x2+x22 + λ(x1+x2-88)
Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным хi и неопределенному множителю λ.
Составим систему:
∂L/∂x1 = 2x1+λ+11 = 0∂L/∂x2 = 2x2+λ+7 = 0∂L/∂λ = x1+x2-88 = 0
Решив данную систему, получаем стационарную точку X0=(43; 45), λ1 = -97
Для определения типа экстремума необходимо вычислить матрицу Гессе для точки X0, либо найти значения функции в каждой из точек и выбрать экстремальное.
L(x,λ, μ) = 11x1+x12+7x2+x22-97(x1+x2-88)
f(x) = 11x1+x12+7x2+x22-97(x1+x2-88
1