По 8 предприятиям отрасли имеются следующие данные

Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b*ln(x) + a
Система нормальных уравнений МНК имеет вид:
an + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x2 = ∑yx
Выпуск продукции – это фактор – х, а расходы материала на единицу – это результат y.
Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу 1.
Таблица 1 – Логарифмическое уравнение регрессии
№ ln(x) y (ln(x))2 y2 ln(x)*y
1 1,9459 1 3,7866 1 1,9459
2 2,3026 0,9 5,3019 0,81 2,0723
3 2,7081 0,75 7,3335 0,5625 2,031
4 2,9957 0,6 8,9744 0,36 1,7974
5 3,4012 0,63 11,5681 0,3969 2,1428
6 3,8067 0,58 14,4907 0,3364 2,2079
7 4,0943 0,54 16,7637 0,2916 2,2109
8 4,7875 0,5 22,9201 0,25 2,3937
Сумма 26,042 5,5 91,139 4,0074 16,802
Для наших данных система уравнений примет вид:
8a + 26,042b = 5,5
26,042a + 91,139b = 16,802
Домножим уравнение (1) системы на (-3,255), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения:
-26,042a -84,767 b = -17,903
26,042*a + 91,139*b = 16,802
Получаем:
6,372*b = -1,1
Откуда b = -0,1731
Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):
8a + 26,042*b = 5,5
8a + 26,042*(-0,1731) = 5,5
8a = 10,007
a = 1,2509
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -0,1731, a = 1,2509
Уравнение регрессии в виде логарифмической функции имеет вид:
у(х) = -0,1731*ln(x) + 1,2509
Найдем среднее значение материальных затрат на единицу:
Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу 2.
Таблица 2 – Промежуточные расчеты
№ x y y(x) |y - yx|/y
1 7 1 0,914 0,0977 0,00737 0,0859
2 10 0,9 0,852 0,0452 0,00227 0,0529
3 15 0,75 0,782 0,00391 0,00104 0,0429
4 20 0,6 0,732 0,00766 0,0175 0,221
5 30 0,63 0,662 0,00331 0,00104 0,0512
6 45 0,58 0,592 0,0116 0,000145 0,0208
7 60 0,54 0,542 0,0218 5,0E-6 0,0042
8 120 0,5 0,422 0,0352 0,00604 0,155
Сумма 307 5,5 5,5 0,226 0,0354 0,634
На рисунке 1 представим исходные данные и по уравнению регрессии.
Рис.1 – Зависимость материальных затрат на единицу от выпуска продукции
Средняя ошибка аппроксимации:
В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 7,92%