По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:
№
1 7 3,5 9 24,5 63 31,5 12,25 81 49
2 7 3,6 10 25,2 70 36 12,96 100 49
3 7 3,8 14 26,6 98 53,2 14,44 196 49
4 7 4,2 15 29,4 105 63 17,64 225 49
5 8 4,3 18 34,4 144 77,4 18,49 324 64
6 8 4,7 19 37,6 152 89,3 22,09 361 64
7 9 5,4 19 48,6 171 102,6 29,16 361 81
8 9 5,6 20 50,4 180 112 31,36 400 81
9 10 5,9 20 59 200 118 34,81 400 100
10 10 6,1 21 61 210 128,1 37,21 441 100
11 10 6,3 21 63 210 132,3 39,69 441 100
12 10 6,8 22 68 220 149,6 46,24 484 100
13 11 7,2 24 79,2 264 172,8 51,84 576 121
14 12 7,9 25 94,8 300 197,5 62,41 625 144
15 12 8,1 26 97,2 312 210,6 65,61 676 144
16 13 8,3 29 107,9 377 240,7 68,89 841 169
17 13 8,4 31 109,2 403 260,4 70,56 961 169
18 13 8,8 32 114,4 416 281,6 77,44 1024 169
19 14 9,6 35 134,4 490 336 92,16 1225 196
20 14 9,7 36 135,8 504 349,2 94,09 1296 196
Сумма 204 128,2 446 1400,6 4889 3141,8 899,34 11038 2194
Ср. знач. 10,2 6,41 22,3 70,03 244,45 157,09 44,967 551,9 109,7
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
;
;
.
Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.
Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии
необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :
либо воспользоваться готовыми формулами:
;;
.
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
;
;
.
Находим
;
;
.
Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:
.
Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:
;
.
Т.е . уравнение будет выглядеть следующим образом:
.
Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.
Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:
.
Вычисляем:
;.
Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,72% или 0,03% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .
Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:
;;.
Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарные, т.к. ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.
Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.
При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:
;
.
Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.
Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:
,
где
– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
– определитель матрицы межфакторной корреляции.
;
.
Коэффициент множественной корреляции
.
Аналогичный результат получим при использовании других формул:
;
;
.
Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.
Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата