По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%).
Требуется:
Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .
С помощью t-критерия оценить статистическую значимость коэффициентов чистой регрессии.
С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .
Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.
Проверить вычисления в MS Excel.
Номер предприятия Номер предприятия
1 7,0 4,2 11,0 11 9,0 6,9 21,0
2 7,0 3,7 13,0 12 11,0 6,4 22,0
3 7,0 3,9 15,0 13 9,0 6,9 22,0
4 7,0 4,0 17,0 14 11,0 7,2 25,0
5 7,0 4,4 18,0 15 12,0 7,1 28,0
6 7,0 4,8 19,0 16 12,0 8,2 29,0
7 8,0 5,3 19,0 17 12,0 8,1 30,0
8 8,0 5,4 20,0 18 12,0 8,6 31,0
9 8,0 5,0 20,0 19 14,0 9,6 32,0
10 10,0 6,8 21,0 20 14,0 9,9 36,0
Решение
Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:
№
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 7,0 4,2 11,0 29,4 77 46,2 17,64 121 49
2 7,0 3,7 13,0 25,9 91 48,1 13,69 169 49
3 7,0 3,9 15,0 27,3 105 58,5 15,21 225 49
4 7,0 4,0 17,0 28 119 68,0 16 289 49
5 7,0 4,4 18,0 30,8 126 79,2 19,36 324 49
6 7,0 4,8 19,0 33,6 133 91,2 23,04 361 49
7 8,0 5,3 19,0 42,4 152 100,7 28,09 361 64
8 8,0 5,4 20,0 43,2 160 108,0 29,16 400 64
9 8,0 5,0 20,0 40 160 100,0 25 400 64
10 10,0 6,8 21,0 68 210 142,8 46,24 441 100
11 9,0 6,9 21,0 62,1 189 144,9 47,61 441 81
12 11,0 6,4 22,0 70,4 242 140,8 40,96 484 121
13 9,0 6,9 22,0 62,1 198 151,8 47,61 484 81
14 11,0 7,2 25,0 79,2 275 180,0 51,84 625 121
15 12,0 7,1 28,0 85,2 336 198,8 50,41 784 144
16 12,0 8,2 29,0 98,4 348 237,8 67,24 841 144
17 12,0 8,1 30,0 97,2 360 243,0 65,61 900 144
18 12,0 8,6 31,0 103,2 372 266,6 73,96 961 144
19 14,0 9,6 32,0 134,4 448 307,2 92,16 1024 196
20 14,0 9,9 36,0 138,6 504 356,4 98,01 1296 196
Сумма 192 126,4 449 1299,4 4605 3070 868,84 10931 1958
Ср. знач. 9,6 6,32 22,45 65,0 230,25 153,5 43,44 546,55 97,9
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
2,396
1,871
6,523
Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.
Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии
необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :
либо воспользоваться готовыми формулами:
;;
.
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
0,959
0,943
0,952
Находим
0,842
0,116
1,667
Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:
Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:
0,658
0,316
Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:
.
Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.
Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:
.
Вычисляем:
0,555
0,272
Т.е
. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,555% или 0,272% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .
Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:
0,959
0,943
0,952
Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. 0,952 > 0,7). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.
Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.
При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:
0,603
0,342
Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.
Коэффициент множественной корреляции определим через матрицу парных коэффициентов корреляции:
,
где
–
определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
– определитель матрицы межфакторной корреляции.
Для матрицы размером 3 3 определитель находится по формуле треугольников:
r = 1 0,959 0,943 =
0,959 1 0,952 0,943 0,952 1
= 1 · 1 · 1 + 0,943 · 0,959 · 0,952 + 0,959 · 0,952 · 0,943 –
– 0,943 · 1 · 0,943 – 0,959 · 0,959 · 1 – 1 · 0,952 · 0,952 = 0,0067
r11 = 1 0,952 = 1 – 0,9522 = 0,0938
0,952 1
Коэффициент множественной корреляции
0,964.
Аналогичный результат получим при использовании других формул:
.
Для вычисления остаточной дисперсии вычислим расчетные значения и значение в двух последних столбцах следующей таблицы:
№
1 7 4,2 11 6,483 0,267
2 7 3,7 13 6,295 0,497
3 7 3,9 15 6,696 0,093
4 7 4 17 7,012 0,000
5 7 4,4 18 7,465 0,217
6 7 4,8 19 7,919 0,844
7 8 5,3 19 8,340 0,115
8 8 5,4 20 8,540 0,292
9 8 5 20 8,203 0,041
10 10 6,8 21 9,836 0,027
11 9 6,9 21 9,920 0,846
12 11 6,4 22 9,615 1,918
13 9 6,9 22 10,036 1,074
14 11 7,2 25 10,638 0,131
15 12 7,1 28 10,902 1,205
16 12 8,2 29 11,945 0,003
17 12 8,1 30 11,977 0,001
18 12 8,6 31 12,514 0,265
19 14 9,6 32 13,473 0,278
20 14 9,9 36 14,191 0,036
Сумма 192 126,4 449
8,151
Ср
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
