По 10 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о прибыли и производстве валовой продукции (производительности труда) на одного среднегодового работника

1. Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:
,
где − прибыль на одного среднегодового работника, тыс. руб.;
х − производство валовой продукции на одного среднегодового работника, тыс. руб.;
a, b − параметры уравнения.
Для определения параметров уравнения a и b составим систему нормальных уравнений. Исходное уравнение последовательно умножим на коэффициенты при неизвестных a и b и затем каждое уравнение просуммируем:
где n – число единиц совокупности.
Для расчетов построим вспомогательную таблицу (табл. 6).
Т а б л и ц а 6
Вспомогательная таблица для расчета статистических величин
Сельскохозяйственное предприятие Прибыль на 1 ра-ботника, тыс. руб. Валовая продукция на 1 ра-ботника, тыс. руб. y2 x2 ху
y x
1 27 420 729 176400 11340 20,455 6,5454 24,242
2 19 450 361 202500 8550 21,209 -2,2087 11,625
3 10 400 100 160000 4000 19,952 -9,9519 99,519
4 14 380 196 144400 5320 19,449 -5,4492 38,923
5 22 350 484 122500 7700 18,695 3,3049 15,022
6 24 440 576 193600 10560 20,957 3,0426 12,678
7 23 410 529 168100 9430 20,203 2,7967 12,16
8 19 390 361 152100 7410 19,701 -0,7005 3,6871
9 13 300 169 90000 3900 17,438 -4,4383 34,141
10 25 320 625 102400 8000 17,941 7,059 28,236
Сумма 196 3860 4130 1512000 76210 280,23
Подставим полученные данные в систему уравнений:
Разделим каждый член уравнений на коэффициенты при а (в первом уравнении на 10, во втором – на 3860):
Вычтем из второго уравнения первое и найдем параметр b:
0,144 = 5,710b; b = 0,025.
Подставив значение b в первое уравнение, найдем значение а:
а = 19,6 – 386 0,025 = 9,897.
Параметры уравнения регрессии можно определить и по другим формулам, которые вытекают из системы нормальных уравнений:
.
Уравнение регрессии имеет вид:
.
Коэффициент регрессии b = 0,025 показывает, что при росте производительности труда на 1 тыс . руб. прибыль на одного работника в среднем по данной совокупности хозяйств увеличивается на 0,025 тыс. руб.
2. Оценим качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации по формуле:
,
где − ошибка аппроксимации.
Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения (табл. 6). Найдем величину средней ошибки аппроксимации. Для этого заполним две последние графы табл. 6. Отсюда:
.
В среднем расчетные значения прибыли на одного среднегодового работника отклоняются от фактических на 28,0 %. Качество уравнения регрессии можно оценить как не очень хорошее, так как средняя ошибка аппроксимации превышает допустимый предел (8−10%)