По заданным коэффициентам прямых затрат (матрица А) и заданным значениям конечного продукта для 4-х отраслей (вектор У)

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых затрат A = (aij), вектор-столбец валовой продукции X = (Xi) и вектор-столбец конечной продукции Y = (Yi), то математическая модель межотраслевого баланса примет вид:
X = AX +Y
Матрица A имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности (при любом j сумма элементов столбца ∑aij ≤ 1.
Определим матрицу коэффициентов полных затрат B-1 с помощью формул обращения невырожденных матриц. Коэффициент полных затрат (bij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли. Полные затраты отражают использование ресурса на всех этапах изготовления и равны сумме прямых и косвенных затрат на всех предыдущих стадиях производства продукции.
а) Находим матрицу (E-A):
(E-A) = 0,96 -0,2 -0,3 -0,1
-0,3 0,8 -0,04 -0,2
-0,2 -0,3 0,9 -0,3
-0,1 -0,1 -0,2 0,7
б) Вычисляем обратную матрицу (E-A)-1:
Запишем матрицу в виде:
0,96 -0,2 -0,3 -0,1
-0,3 0,8 -0,04 -0,2
-0,2 -0,3 0,9 -0,3
-0,1 -0,1 -0,2 0,7
Главный определитель. Минор для (1,1):
Δ1,1= 0,8 -0,04 -0,2
-0,3 0,9 -0,3
-0,1 -0,2 0,7
=
=0,8*(0,9*0,7-(-0,2*(-0,3)))-(-0,3*(-0,04*0,7-(-0,2*(-0,2))))+(-0,1*(-0,04*(-0,3)-0,9*(-0,2)))=0,4164Минор для (2,1):
Δ2,1= -0,2 -0,3 -0,1
-0,3 0,9 -0,3
-0,1 -0,2 0,7
=
=-0,2*(0,9*0,7-(-0,2*(-0,3)))-(-0,3*(-0,3*0,7-(-0,2*(-0,1))))+(-0,1*(-0,3*(-0,3)-0,9*(-0,1)))=-0,201Минор для (3,1):
Δ3,1= -0,2 -0,3 -0,1
0,8 -0,04 -0,2
-0,1 -0,2 0,7
=
=-0,2*(-0,04*0,7-(-0,2*(-0,2)))-0,8*(-0,3*0,7-(-0,2*(-0,1)))+(-0,1*(-0,3*(-0,2)-(-0,04*(-0,1))))=0,192Минор для (4,1):
Δ4,1= -0,2 -0,3 -0,1
0,8 -0,04 -0,2
-0,3 0,9 -0,3
=
=-0,2*(-0,04*(-0,3)-0,9*(-0,2))-0,8*(-0,3*(-0,3)-0,9*(-0,1))+(-0,3*(-0,3*(-0,2)-(-0,04*(-0,1))))=-0,1992Определитель:∆=0,96*0,42-(-0,3*(-0,2))+(-0,2*0,19)-(-0,1*(-0,2))=0,281124Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу B-1.Транспонированная матрица.
BT= 0,96 -0,3 -0,2 -0,1
-0,2 0,8 -0,3 -0,1
-0,3 -0,04 0,9 -0,2
-0,1 -0,2 -0,3 0,7
Найдем алгебраические дополнения матрицы BT.
BT1,1=(-1)1+1 0,8 -0,3 -0,1
-0,04 0,9 -0,2
-0,2 -0,3 0,7
∆1,1=0,8*(0,9*0,7-(-0,3*(-0,2)))-(-0,04*(-0,3*0,7-(-0,3*(-0,1))))+(-0,2*(-0,3*(-0,2)-0,9*(-0,1)))=0,4164
BT1,2=(-1)1+2 -0,2 -0,3 -0,1
-0,3 0,9 -0,2
-0,1 -0,3 0,7
∆1,2=-0,2*(0,9*0,7-(-0,3*(-0,2)))-(-0,3*(-0,3*0,7-(-0,3*(-0,1))))+(-0,1*(-0,3*(-0,2)-0,9*(-0,1)))=0,201
BT1,3=(-1)1+3 -0,2 0,8 -0,1
-0,3 -0,04 -0,2
-0,1 -0,2 0,7
∆1,3=-0,2*(-0,04*0,7-(-0,2*(-0,2)))-(-0,3*(0,8*0,7-(-0,2*(-0,1))))+(-0,1*(0,8*(-0,2)-(-0,04*(-0,1))))=0,192
BT1,4=(-1)1+4 -0,2 0,8 -0,3
-0,3 -0,04 0,9
-0,1 -0,2 -0,3
∆1,4=-0,2*(-0,04*(-0,3)-(-0,2*0,9))-(-0,3*(0,8*(-0,3)-(-0,2*(-0,3)))) + (-0,1 * (0,8 * 0,9 - (-0,04*(-0,3)))) = 0,1992
BT2,1=(-1)2+1 -0,3 -0,2 -0,1
-0,04 0,9 -0,2
-0,2 -0,3 0,7
∆2,1=-0,3*(0,9*0,7-(-0,3*(-0,2)))-(-0,04*(-0,2*0,7-(-0,3*(-0,1))))+(-0,2*(-0,2*(-0,2)-0,9(-0,1)))=0,2038
BT2,2=(-1)2+2 0,96 -0,2 -0,1
-0,3 0,9 -0,2
-0,1 -0,3 0,7
∆2,2=0.96*(0.9*0.7-(-0.3*(-0.2)))-(-0.3*(-0.2*0.7-(-0.3*(-0.1))))+(-0.1*(-0.2*(-0.2)-0.9*(-0.1)))=0.4832
BT2,3=(-1)2+3 0,96 -0,3 -0,1
-0,3 -0,04 -0,2
-0,1 -0,2 0,7
∆2,3=-0.96*(-0.04*0.7-(-0.2*(-0.2)))-(-0.3*(-0.3*0.7-(-0.2*(-0.1))))+(-0.1*(-0.3*(-0.2)-(-0.04*(-0.1))))=0.1399
BT2,4=(-1)2+4 0,96 -0,3 -0,2
-0,3 -0,04 0,9
-0,1 -0,2 -0,3
∆2,4=0.96*(-0.04*(-0.3)-(-0.2*0.9))-(-0.3*(-0.3*(-0.3)-(-0.2*(-0.2))))+(-0.1*(-0.3*0.9-(-0.04*(-0.2))))=0.2271
BT3,1=(-1)3+1 -0,3 -0,2 -0,1
0,8 -0,3 -0,1
-0,2 -0,3 0,7
∆3,1=-0.3*(-0.3*0.7-(-0.3*(-0.1)))-0.8*(-0.2*0.7-(-0.3*(-0.1)))+(-0.2*(-0.2*(-0.1)-(-0.3*(-0.1))))=0.21
BT3,2=(-1)3+2 0,96 -0,2 -0,1
-0,2 -0,3 -0,1
-0,1 -0,3 0,7
∆3,2=-0.96*(-0.3*0.7-(-0.3*(-0.1)))-(-0.2*(-0.2*0.7-(-0.3*(-0.1))))+(-0.1*(-0.2*(-0.1)-(-0.3*(-0.1))))=0.2634
BT3,3=(-1)3+3 0,96 -0,3 -0,1
-0,2 0,8 -0,1
-0,1 -0,2 0,7
∆3,3=0.96*(0.8*0.7-(-0.2*(-0.1)))-(-0.2*(-0.3*0.7-(-0.2*(-0.1))))+(-0.1*(-0.3*(-0.1)-0.8*(-0.1)))=0.4614
BT3,4=(-1)3+4 0,96 -0,3 -0,2
-0,2 0,8 -0,3
-0,1 -0,2 -0,3
∆3,4=-0.96*(0.8*(-0.3)-(-0.2*(-0.3)))-(-0.2*(-0.3*(-0.3)-(-0.2*(-0.2))))+(-0.1*(-0.3*(-0.3)-0.8*(-0.2)))=0.303
BT4,1=(-1)4+1 -0,3 -0,2 -0,1
0,8 -0,3 -0,1
-0,04 0,9 -0,2
∆4,1=-0.3*(-0.3*(-0.2)-0.9*(-0.1))-0.8*(-0.2*(-0.2)-0.9*(-0.1))+(-0.04*(-0.2*(-0.1)-(-0.3*(-0.1))))=0.1486
BT4,2=(-1)4+2 0,96 -0,2 -0,1
-0,2 -0,3 -0,1
-0,3 0,9 -0,2
∆4,2=0.96*(-0.3*(-0.2)-0.9*(-0.1))-(-0.2*(-0.2*(-0.2)-0.9*(-0.1)))+(-0.3*(-0.2*(-0.1)-(-0.3*(-0.1))))=0.173
BT4,3=(-1)4+3 0,96 -0,3 -0,1
-0,2 0,8 -0,1
-0,3 -0,04 -0,2
∆4,3=-0,96*(0,8*(-0,2)-(-0,04*(-0,1)))-(-0,2*(-0,3*(-0,2)-(-0,04*(-0,1))))+(-0,3*(-0,3*(-0,1)-0,8*(-0,1)))=0,1792
BT4,4=(-1)4+4 0,96 -0,3 -0,2
-0,2 0,8 -0,3
-0,3 -0,04 0,9
∆4,4=0,96*(0,8*0,9-(-0,04*(-0,3)))-(-0,2*(-0,3*0,9-(-0,04*(-0,2))))+(-0,3*(-0,3*(-0,3)-0,8*(-0,2)))=0,5491Обратная матрица.
0,416 0,201 0,192 0,199
0,204 0,483 0,14 0,227
0,21 0,263 0,461 0,303
0,149 0,173 0,179 0,549
B-1= 1,481 0,715 0,683 0,709
0,725 1,719 0,498 0,808
0,747 0,937 1,641 1,078
0,529 0,615 0,638 1,953
Составим систему балансовых уравнений:
x1-(0,04x1+0,2x2+0,3x3+0,1x4)=y1x2-(0,3x1+0,2x2+0,04x3+0,2x4)=y2x3-(0,2x1+0,3x2+0,1x3+0,3x4)=y3x4-(0,1x1+0,1x2+0,2x3+0,3x4)=y4или0,96x1-0,2x2-0,3x3-0,1x4=y1-0,3x1+0,8x2-0,04x3-0,2x4=y2-0,2x1-0,3x2+0,9x3-0,3x4=y3-0,1x1-0,1x2-0,2x3+0,7x4=y4Элементы каждого столбца bij показывают, сколько нужно затратить продукции каждой отрасли для производства только единицы конечного продукта j-й отрасли.
Найдем величины валовой продукции 4-х отраслей
X = (B-1*Y) = 1,481 0,715 0,683 0,709
0,725 1,719 0,498 0,808
0,747 0,937 1,641 1,078
0,529 0,615 0,638 1,953
* 56
20
120
74
= 231,639
194,467
337,282
262,953
Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой xij = aij * Xj.
Межотраслевой баланс состоит из четырех квадрантов (табл.)