Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины X имеет вид

А) Имеем нормальную случайную величину с плотностью распределения:
fx=1σ2πe-x-a22σ2,
где параметр a – математическое ожидание, σ2 – дисперсия распределения.
Преобразуем плотность вероятности.
Выделим полный квадрат:
-x2+x+2=-x-122+14+2=-x-1222∙122+94
fx=y e-x-1222∙122+94=ye94 e-x-1222∙122+94=1122π e-x-1222∙122+94⟹ye94=1π⟹y=1e94π≈0.059
б) из вида функции плотности нормальной случайной величины:
MX=a=12;DX=σ2=122=12Для нахождения вероятностей воспользуемся функцией Лапласа:
Φx=12π0xe-t22dt.
в) вероятность выполнения неравенства 1<X<2:
Pα<X<β=Фβ-aσ-Фα-aσ.
P1<X<2=Ф2-1212-Ф1-1212=Ф2.12-Ф0.71=0.4830-0.2611=0.2219.
г) вероятность выполнения неравенства X-MX≤ε.
PX-MX≤ε=2Фεσ.
PX-MX≤0.46=2Ф0.4612=2Ф0.65=2∙0.2422=0.4844.