Плотность распределения случайной величины ξ задается формулой
px=C1+11+x2, x∈-3;30, x∉-3;3
Требуется:
Найти неизвестную константу C и построить график функции плотности px (кривую распределения).
Найти функцию распределения Fx, построить график этой функции.
Вычислить математическое ожидание Mξ, дисперсию Dξ и среднее квадратическое отклонение σξ.
Определить вероятность Pξ<Mξ, Pξ≥Mξ+1, Pξ-Mξ≤σξ.
Интерпретировать заданные вероятности на графике плотности случайной величины ξ.
Решение
Найти неизвестную константу C и построить график функции плотности px (кривую распределения).
Плотность распределения px должна удовлетворять условию
-∞∞pxdx=1
Для заданной функции
-∞∞pxdx=-∞-30dx+-33C1+11+x2dx+3∞0dx=Cx+arctg x-33=C6+arctg 3+arctg 3=C6+2arctg 3=1
C=16+2arctg 3
Плотность распределения имеет вид
px=16+2arctg 31+11+x2, x∈-3;30, x∉-3;3
Найти функцию распределения Fx, построить график этой функции.
Используем формулу
Fx=-∞xpxdx
Если -∞<x<-3, то
Fx=-∞x0dx=0
Если -3≤x≤3, то
Fx=-∞-30dx+-3x16+2arctg 31+11+x2dx=16+2arctg 3x+arctg x-3x=16+2arctg 3x+3+arctg x+arctg 3=x+arctg x+3+arctg 36+2arctg 3=x+arctg x6+2arctg 3+12
Если 3<x<+∞, то
Fx=-∞-30dx+-3316+2arctg 31+11+x2dx+3x0dx=16+2arctg 3x+arctg x-33=16+2arctg 33+3+arctg 3+arctg 3=1
Функция распределения имеет вид
Fx=0, при -∞<x<-3x+arctg x6+2arctg 3+12, при -3≤x≤31, при 3<x<+∞
Вычислить математическое ожидание Mξ, дисперсию Dξ и среднее квадратическое отклонение σξ.
Математическое ожидание
Mξ=-∞∞xpxdx=-∞-3x∙0dx+-33x∙16+2arctg 31+11+x2dx+3∞x∙0dx=16+2arctg 3-33x+x1+x2dx=16+2arctg 3x22+12ln1+x2-33=0
Дисперсия
Dξ=-∞∞x2pxdx-Mξ2=-∞-3x2∙0dx+-33x2∙16+2arctg 31+11+x2dx+3∞x2∙0dx-02=16+2arctg 3-33x2+x21+x2dx=16+2arctg 3-33x2+1-11+x2dx=16+2arctg 3x33+x-arctg x-33=16+2arctg 39+9+3+3-arctg 3-arctg 3=24-2arctg 36+2arctg 3=12-arctg 33+arctg 3≈2,5302
Среднее квадратическое отклонение
σξ=Dξ=2,5302≈1,5907
Определить вероятность Pξ<Mξ, Pξ≥Mξ+1, Pξ-Mξ≤σξ.
Pξ<Mξ=Pξ<0=-∞0p(x)dx=-3016+2arctg 31+11+x2dx=16+2arctg 3x+arctg x-30=16+2arctg 30+3+0+arctg 3=3+arctg 36+2arctg 3=12=0,5
Pξ≥Mξ+1=Pξ≥1=1316+2arctg 31+11+x2dx=16+2arctg 3x+arctg x13=16+2arctg 33-1+arctg 3-π4=16+2arctg 32+arctg 3-π4≈0,2899
Pξ-Mξ≤σξ=Pξ-0≤1,5907=P-1,5907≤ξ≤1,5907=F1,5907-F-1,5907=1,5907+arctg 1,59076+2arctg 3+12+1,5907+arctg 1,59076+2arctg 3-12=1,5907+arctg 1,59073+arctg 3≈0,612
Интерпретировать заданные вероятности на графике плотности случайной величины ξ.
Pξ<Mξ=Pξ<0=0,5
Вероятность численно равна площади выделенной серым цветом фигуры.
Pξ≥Mξ+1=Pξ≥1=0,2899
Вероятность численно равна площади выделенной серым цветом фигуры.
Pξ-Mξ≤σξ=Pξ-0≤1,5907=P-1,5907≤ξ≤1,5907=0,612
Вероятность численно равна площади выделенной серым цветом фигуры.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
