Плоское течение жидкости задано следующим образом

1) Компоненты вектора скорости выражаются через функцию тока ψ следующим образом
vx=∂ψ∂y, vy=-∂ψ∂x.
В случае поля скорости (1) для функции тока имеем следующую систему уравнений
∂ψ∂x=-vy=ay,∂ψ∂y=vx=ax.
Интегрируем первое уравнение по x
ψx,y=aydx=axy+fy.
Дифференцируем полученное выражение по y и подставляем во второе уравнение
∂ψ∂y=ax+f'y=ax, ⟹ f'y=0, ⟹ fy=C.
ψ=axy+C.
Поскольку функция тока определяется с точностью до прибавления константы, возьмем C=0, тогда функции тока будет иметь вид
ψ(x,y)=axy.
Линиями тока будут изолинии функции тока
ψx,y=axy=C1=const.
Уравнения линий тока можно записать в другом виде
y=C2x,
где C2=C1a . Это семейство гипербол с осями x=0, y=0. Семейство линий тока схематически представлены на рисунке.
Замечание. Уравнение линий тока можно найти и непосредственно.
Линия тока − это линия, для которой в данный момент в каждой точке касательная совпадает с направлением вектора скорости v