Плоское течение жидкости задано следующим образом

1. Компоненты вектора скорости выражаются через функцию тока ψ следующим образом
vx=∂ψ∂y, vy=-∂ψ∂x.
В случае заданного поля скорости для функции тока имеем следующую систему уравнений
∂ψ∂x=-vy=x-уx2+y2,∂ψ∂y=vx=х+yx2+y2.
Интегрируем первое уравнение по x
ψx,y=x-уx2+y2dx=12ln x2+y2-arctg xy+fy.
Дифференцируем полученное выражение по y и подставляем во второе уравнение
∂ψ∂y=yx2+y2+xx2+y2+f'y=x+yx2+y2, ⟹ f'y=0, ⟹ fy=C.
ψx,y=12ln x2+y2-arctg xy+C.
Поскольку функция тока определяется с точностью до прибавления константы, возьмем C=0, тогда функции тока будет иметь вид
ψx,y=12·ln x2+y2-arctg xy .
Линиями тока будут изолинии функции тока
ψx,y=12·ln x2+y2-arctg xy=C1=const.
Представим это выражение как суперпозицию отдельных выражений:
12·ln x2+y2=lnx2+y2=С , т.е . у= ± e2·C-x2
arctg xy=C , т.е