Плоское течение жидкости задано следующим образом

1) Компоненты вектора скорости выражаются через функцию тока ψ следующим образом
vx=∂ψ∂y, vy=-∂ψ∂x.
В случае поля скорости (1) для функции тока имеем следующую систему уравнений
∂ψ∂x=-vy=xx2+y2,∂ψ∂y=vx=yx2+y2.
Интегрируем первое уравнение по x
ψx,y=xx2+y2dx=12dx2x2+y2=12lnx2+y2+fy.
Дифференцируем полученное выражение по y и подставляем во второе уравнение
∂ψ∂y=yx2+y2+f'y=yx2+y2, ⟹ f'y=0, ⟹ fy=C.
ψ=12lnx2+y2+C.
Поскольку функция тока определяется с точностью до прибавления константы, возьмем C=0, тогда функции тока будет иметь вид
ψ(x,y)=12lnx2+y2.
Линиями тока будут изолинии функции тока
ψx,y=12lnx2+y2=C1=const.
Уравнения линий тока можно записать в другом виде
x2+y2=C22,
где C22=e2C1 . Это окружности с центром в точке (0;0) и радиусом C2. Семейство линий тока схематически представлены на рисунке.
Замечание. Уравнение линий тока можно найти и непосредственно.
Линия тока − это линия, для которой в данный момент в каждой точке касательная совпадает с направлением вектора скорости v. Линии тока для плоского течения определяются следующим дифференциальным уравнением
dxvx=dyvy.
Для поля скорости (1) это уравнение примет вид
dxyx2+y2=dy-xx2+y2, ⟹ dxy=dy-x, ⟹ ydy=-xdx, ⟹ ydy=-xdx ⟹
y22=-x22+C1,
Обозначим константу C22=2C1, тогда первый интеграл этого ОДУ примет вид
y2+x2=C22
Это и будут уравнения линий тока для данного течения.
2) Определим относительные скорости деформации
Относительные скорости удлинений равны
εx=∂vx∂x=∂∂xyx2+y2=-2xyx2+y22,
εy=∂vy∂y=∂∂y-xx2+y2=2xyx2+y22.
Относительная скорость сдвига
θ=∂vx∂y+∂vy∂x=∂∂yyx2+y2+∂∂x-xx2+y2=
=1x2+y2-2y2x2+y22-1x2+y2+2x2x2+y22=2x2-y2x2+y22.
3) Найдем поле вихря скорости
Ω=rot v=∇×v=ijk∂∂x∂∂y∂∂zvxvyvz=∂vz∂y-∂vy∂zi+∂vx∂z-∂vz∂xj+∂vy∂x-∂vx∂yk.
В плоском случае вектор завихренности имеет только одну компоненту
Ω=0;0;Ω,
где
Ω=∂vy∂x-∂vx∂y=∂∂x-xx2+y2-∂∂yyx2+y2=
=-1x2+y2+2x2x2+y22-1x2+y2+2y2x2+y22=-2x2+y2+2x2+y2=0
Поскольку для поля скорости (1) rot v=0, то это поле потенциально