Плоская гармоническая электромагнитная волна распространяется в вакууме в положительном направлении оси OY

Так как волна по условию распространяется в вакууме, то = 1, = 1, =0.
В этом случае фазовая скорость волны v равна скорости света в вакууме c:
v=100=100=c.
Здесь 0 = 8,8510-12 Ф/м - диэлектрическая постоянная, µ0 = 410-7 Гн/м - магнитная постоянная,
Так как волна по условию распространяется вдоль оси Y, то
k=key.
Здесь ey– единичный вектор (орт), направленный вдоль оси Y.
1) Найдем вектор напряжённости электрического поля E этой волны как функция времени t и координат точки наблюдения.
По определению
Sy,t=E H;
Из уравнений Максвелла следует, что
H=v D=0v E.
Направление фазовой скорости определяется волновым вектором k:
v=vkk= ckk.
Тогда
H=0vk Ek=0ck Ek=00k Ek;
Sy,t=00E k Ek=00E2kk.
Здесь использована формула векторного произведения («BAC – CAB»)
Учтем, что
Sm=Smkk.
Подставим последние два выражения в формулу вектора Пойнтинга, данную в условии:
Sy,t=Smcos2t-ky;
00E2kk=Smkkcos2t-ky;
E=E2=400Smcos2t-ky;
По определению, волновое число равно:
k=v.
Тогда
=kv=kc.
Окончательная формула для напряженности имеет вид:
E=400Smcos2kct-ky;
Подставим числа:
E=4410-78,8510-1293,5cos0,483108t-0,48y;
E=188cos1,44108t-0,48yВ/м.
В условии не определено направление колебаний векторов E и H, поэтому мы можем выбирать любое направление в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, то есть направлению вектора k.
Пусть E направлен по оси OX, которое задается ортом ex, тогда
Ex=188cos1,44108t-0,48y В/м.
E=188excos1,44108t-0,48y.
2) Найдем вектор напряжённости магнитного поля H этой волны как функция времени t и координат точки наблюдения.
Воспользуемся формулой, полученной ранее:
H=00k Ek=001kexeyez0k0Ex00=-00Exez;
H=-8,8510-12410-7188ezcos1,44108t-0,48y;
Hz=-0,499cos1,44108t-0,48y Ам.
3) Найдем объёмную плотность энергии w .
Воспользуемся известной формулой объёмной плотности энергии электромагнитного поля в вакууме
w=0E22+0H22.
Очевидно, что в данной задаче
w=0Ex22+0Hz22;
w=8,85 10-1218822+4 10-70,49922cos21,44108t-0,48y=
=1,5610-7+1,5610-7cos21,44108t-0,48y;
w=3,1210-7cos21,44108t-0,48y Дж/м3.
Можно заметить, что плотности энергии электрической и магнитной составляющих поля оказались равными, что соответствует теории.
4) Найдем средний вектор Пойнтинга <S>;
По определению среднего по времени за период:
S=1T0TS(t)dt.
Подставим функцию
Sy,t=Smcos2t-ky;
и вынесем из под интеграла величины, не зависящие от времени:
S=Sm1T0Tcos2t-kydt.
Здесь
1T0Tcos2t-kydt=1T0T1-cos2t-ky2dt=12,
поэтому
S=12Sm=12Smkk=1293,5kk=46,75ey.
5) Найдем среднее значение <S> плотности потока энергии, переносимой этой волной.
Плотность потока энергии, переносимого волной в вакууме, вычисляется по формуле:
S=wc.
Подставим в эту формулу выражение для плотности энергии данной волны и значение скорости света:
S=3,1210-73108cos21,44108t-0,48y;
S=93,6cos21,44108t-0,48y.
По определению среднего по времени за период:
S=1T0TS(t)dt=93,61T0Tcos21,44108t-0,48ydt=46,8 Втм3.
Как и следовало ожидать, это значение совпадает с модулем среднего вектора Пойнтинга.
6) Найдем вектор плотности тока смещения jсм;
По определению:
jсм=∂D∂t.
Для вакуума D=0E, поэтому
jсм=0∂E∂t=8,85 10-12∂188excos1,44108t-0,48y∂t;
jсм=-1888,85 10-121,44108exsin1,44108t-0,48y;
jсм=0,24excos1,44108t-0,48y+2;
7) Найдем среднее за период колебаний значение модуля плотности тока смещения <jсм>
Модуль плотности тока смещения для действительной величины определяется по формуле:
jсм=jсмjсм=0,24cos1,44108t-0,48y+2.
Тогда среднее значение:
jсм=0,241T0Tcos1,44108t-0,48y+2dt=0.
8) Найдем величину импульса Кед (в единице объёма).
Величина плотности импульса вычисляется для волны, распространяющейся в вакууме, по формуле:
Kед=wc.
Подставим значения величин:
Kед=3,1210-7cos21,44108t-0,48y3108=1,0410-15cos21,44108t-0,48yкгм2с.
9) Запишем волновое уравнение для магнитной и электрической компонент рассматриваемой электромагнитной волны