Первое начальное условие ux 0 не допечатано

Для решения задачи применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в уравнение (1)
Xx∙T''(t)=16X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на 81Xx∙T(t)
T''(t)16T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
T''t+16λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (3), получим
X0⋅Tt=0, X4⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X4=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X4=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X4=C2sin4λ=0
Поскольку C2≠0, то получили следующее спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sin4λ=0,
4λ=πn, n=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=πn42, k=1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xnx=sinπnx4, n=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tn''(t)+16πn42Tnt=0.
Tn''(t)+πn2Tnt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tnt=Ancosπnt+Bnsinπnt.
Решение исходной задачи ищем в виде ряда по собственным функциям
ux,t=n=1∞Ancosπnt+Bnsinπntsinπnx4,
utx,t=n=1∞πn-Ansinπnt+Bncosπntsinπnx4,
Неизвестные коэффициенты An,Bn этого ряда найдем из начальных условий (2)
ux,0=n=1∞Ansinπnx4=0,
utx,0=n=1∞πnBnsinπnx4=12πsin3πx.
В силу полноты системы собственных функций sinπnx4n=1∞ из первого равенства получим
An=0, n=1,2,…,
из второго равенства следует
12πB12=12π, πnBn=0, n≠12.
B12=1, Bn=0, n≠12.
Решение ux,t задачи (1) – (3) имеет вид
ux,t=sin12πtsin3πx.
Ответ:
ux,t=sin12πtsin3πx.