Относительно случайной величины (с. в.) X (или двух с. в. X и Y) выдвинута основная статистическая гипотеза H0, при конкурирующей гипотезе H1. Применяя подходящий статистический критерий, выполнить проверку справедливости основной гипотезы на уровне значимости = 0,05. При необходимости найти точечные выборочные оценки параметров распределения. Анализируемые распределения представить графически.
С. в. X (число появлений события A в 100 опытах по 10 независимых испытаний) задана эмпирическим рядом распределения:
xi
0 1 2 3 4 5 6 7 Прим.
ni
2 3 10 22 26 20 12 5 ∑ni=100
Гипотеза H0: с. в. X имеет биномиальное распределение.
Гипотеза H1: с. в. X имеет распределение, отличное от биномиального.
Ответ
На уровне значимости = 0,05 можно считать, что эмпирическое распределение числа появлений события A в 100 опытах по 10 независимых испытаний соответствует биномиальному закону распределения.
Решение
N=100 – число опытов.
n=10 – число независимых испытаний в одном опыте.
График эмпирического частотного распределения похож на график биномиального распределения. Для того, чтобы дать обоснованный ответ на вопрос о том, действительно ли соответствует наблюдаемое эмпирическое частотное распределение появлений событий A биномиальному закону распределения, используем критерий согласия 2-Пирсона.
Для того, чтобы иметь возможность вычисления теоретических частот, оценим параметр p предполагаемого теоретического биномиального распределения
Pnx=Cnx∙px∙1-pn-x
Примем в качестве оценок параметра биномиального распределения величину, вычисленную из самой выборки. А именно, относительную частоту появления события A
p=xiniN∙n=0∙2+1∙3+2∙10+3∙22+4∙26+5∙20+6∙12+7∙5100∙10=3+20+66+104+100+72+351000=4001000=0,4
p=0,4 – вероятность появления события A.
q=1-p=1-0,4=0,6 – вероятность не появления события A.
Расчетные (теоретические) частоты nтеор вычислим как
ni, теор=N∙Pnxi
Найдем вероятности Pnxi того, что событие A появится в n=10 испытаниях ровно xi раз
P100=C100∙0,40∙0,610-0=10!0!10!∙0,610≈0,006
P101=C101∙0,41∙0,610-1=10!1!9!∙0,4∙0,69≈10∙0,00403≈0,0403
P102=C102∙0,42∙0,610-2=10!2!8!∙0,42∙0,68≈45∙0,002687≈0,1209
P103=C103∙0,43∙0,610-3=10!3!7!∙0,43∙0,67≈120∙0,001792≈0,215
P104=C104∙0,44∙0,610-4=10!4!6!∙0,44∙0,66≈210∙0,0011944≈0,2508
P105=C105∙0,45∙0,610-5=10!5!5!∙0,45∙0,65≈252∙0,0007963≈0,2007
P106=C106∙0,46∙0,610-6=10!6!4!∙0,46∙0,64≈210∙0,000531≈0,1115
P107=C107∙0,47∙0,610-7=10!7!3!∙0,47∙0,63≈120∙0,0003539≈0,0425
Расчетные (теоретические) частоты
n1, теор=100∙P100=100∙0,006=0,6
n2, теор=100∙P101=100∙0,0403=4,03
n3, теор=100∙P102=100∙0,1209=12,09
n4, теор=100∙P103=100∙0,215=21,5
n5, теор=100∙P104=100∙0,2508=25,08
n6, теор=100∙P105=100∙0,2007=20,07
n7, теор=100∙P106=100∙0,1115=11,15
n8, теор=100∙P107=100∙0,0425=4,25
Для нахождения эмпирического значения критерия Пирсона составим таблицу.
№ п/п
xi
ni
ni, теор
ni-ni, теор
ni-ni, теор2ni, теор
1 0 2 0,6 1,4 3,2667
2 1 3 4,03 -1,03 0,2633
3 2 10 12,09 -2,09 0,3613
4 3 22 21,5 0,5 0,0116
5 4 26 25,08 0,92 0,0337
6 5 20 20,07 -0,07 0,0002
7 6 12 11,15 0,85 0,0648
8 7 5 4,25 0,75 0,1324
∑ - 100 - - 4,134
Таким образом, эмпирическое значение критерия Пирсона составляет χэмп2≈4,134
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
