Основные теоремы повторных независимых случайных событий (простейший поток событий)

А)По условию λ=3, t=2, κ ≥ 3.
Найдем вероятность того, что за 2 мин прибудут не менее 3 самолетов, так как событие "прибудут менее 3 самолетов" и "прибудут не менее 3 самолетов" – противоположные, то сумма вероятностей этих событий равна единице:
P2(κ<3)+P2(κ≥3)=1.
Воспользуемся формулой:
Вероятность того, что за время t произойдет ровно k событий, равна
.
Отсюда
P2(κ≥3)=1-P2(κ<3)=1-[P2(0)+P2(1)+P2(2)]=
=1-(3∙20e-3∙20!+3∙21e-3∙21!+3∙22e-3∙22!)=
=1-1e6+6e6+18e6=1-25e6=1-0,062=0,938.
Так как полученная вероятность весьма близка к единице, полученный результат можно истолковать так: почти достоверно, что за 2 мин прибудут не менее трех самолетов
б) По условию λ=3, t=2, κ ≤ 2.
Найдем вероятность того, что за 2 мин прибудут не более 2 самолетов.
Воспользуемся формулой:
Вероятность того, что за время t произойдет ровно k событий, равна
.
Отсюда
P2(κ≤2)= P2(0)+P2(1)+P2(2)=
=3∙20e-3∙20!+3∙21e-3∙21!+3∙22e-3∙22!=
=1e6+6e6+18e6=25e6=0,062.
в) По условию λ = 3, t = 2, κ =4.
Найдем вероятность того, что за 2 мин прибудут 4 самолета.
Воспользуемся формулой:
Вероятность того, что за время t произойдет ровно k событий, равна
.
Отсюда
P2(κ=4)= P2(4)=3∙24e-3∙24!=129624∙e6=54e6=0,134.
Ответ: а)Р=0,938, б) Р=0,062, в) Р=0,134.