Определить все токи пользуясь методами Узловых потенциалов Наложения

Принимаем потенциал узла «d» равным нулю:
φd=0.
Для оставшихся узлов запишем систему уравнений по МУП в общем виде (по первому закону Кирхгофа):
Gaaφa-Gabφb-Gacφc=Iaa-Gbaφa+Gbbφb-Gbcφc=Ibb-Gcaφa-Gcbφb+Gccφc=Icc
Вычислим собственные проводимости узлов:
Gaa=1R3+1R4+1R6=193+136+136=0,066 См
Gbb=1R1+1R2+1R4=124+180+136=0,082 См
Gcc=1R1+1R3+1R5=124+193+1156=0,059 См
Общие проводимости узлов:
Gab=Gba=1R4=136=0,028 См
Gac=Gca=1R3=193=0,011 См
Gbc=Gcb=1R1=124=0,042 См
Узловые токи:
в узле «a»: Iaa=-E3R3=-15093=-1,613 А
в узле «b»: Ibb=E2R2=9680=1,2 А
в узле «c»: Icc=E3R3=15093=1,613 А
Подставим найденные значения в систему уравнений:
0,066φa-0,028φb-0,011φc=-1,613-0,028φa+0,082φb-0,042φc=1,2-0,011φa-0,042φb+0,059φc=1,613
Записываем полученную систему в матричной форме:
0,066-0,028-0,011-0,0280,082-0,042-0,011-0,0420,059∙φaφbφc=-1,6131,21,613
A∙X=B,
где X – вектор столбец неизвестных (узловых потенциалов), A – матрица коэффициентов, B – вектор столбец свободных членов.
Для решения системы линейных уравнений воспользуемся методом Крамера. Вычисляем главный определитель системы:
Δ=0,066-0,028-0,011-0,0280,082-0,042-0,011-0,0420,059=124,779∙10-6
Заменяем коэффициенты при соответствующих неизвестных свободными членами и вычисляем определители ∆1, ∆2 и ∆3:
Δ1=-1,613-0,028-0,0111,20,082-0,0421,613-0,0420,059=811,334∙10-6
Δ2=0,066-1,613-0,011-0,0281,2-0,042-0,0111,6130,059=6,122∙10-3
Δ3=0,066-0,028-1,613-0,0280,0821,2-0,011-0,0421,613=7,905∙10-3
По формулам Крамера определяем потенциалы узлов:
φa=Δ1Δ=811,334∙10-6124,779∙10-6=6,502 В
φb=Δ2Δ=6,122∙10-3124,779∙10-6=49,062 В
φc=Δ3Δ=7,905∙10-3124,779∙10-6=63,353 В
По закону Ома определяем токи в ветвях:
I1=φc-φbR1=63,353-49,06224=0,595 А
I2=φd-φb+E2R2=0-49,062+E280=0,587 А
I3=φa-φc+E3R3=6,502-63,353+E393=1,002 А
I4=φa-φbR4=6,502-49,06236=-1,182 А
I5=φc-φdR5=63,353-0156=0,406 А
I6=φd-φaR6=0-6,50236=-0,181 А
Рассчитаем составляющие токов ветвей от воздействия источника E2, считая при этом ЭДС источника E3 равной нулю.
Выполним преобразование треугольника сопротивлений R1, R3 и R4 в эквивалентную звезду R13, R14 и R34.
R13=R1∙R3R1+R3+R4=24∙9324+93+36=14,588 Ом
R14=R1∙R4R1+R3+R4=24∙3624+93+36=5,647 Ом
R34=R3∙R4R1+R3+R4=93∙3624+93+36=21,882 Ом
Преобразованная схема:
Эквивалентное сопротивление цепи:
Rэкв'=R2+R14+R13+R5∙R34+R6R13+R5+R34+R6=24+5,647+14,588+156∙21,882+3614,588+156+21,882+36=128,865 Ом
Ток I2':
I2'=E2Rэкв'=96128,865=0,745 А
Токи I5' и I6':
I5'=I2'∙R34+R6R13+R5+R34+R6=0,745∙21,882+3614,588+156+21,882+36=0,189 А
I6'=I2'-I5'=0,745-0,189=0,556 А
Токи I1', I3' и I4':
I1'=E2-I2'R2-I5'R5R1=96-0,745∙80-0,189∙15624=0,29 А
I3'=I1'-I5'=0,29-0,189=0,101 А
I4'=I2'-I1'=0,745-0,29=0,455 А
Рассчитаем составляющие токов ветвей от воздействия источника E3, считая при этом ЭДС источника E4 равной нулю.
Выполним преобразование треугольника сопротивлений R1, R2 и R5 в эквивалентную звезду R12, R15 и R25.
R12=R1∙R2R1+R2+R5=24∙8024+80+156=7,385 Ом
R15=R1∙R5R1+R2+R5=24∙15624+80+156=14,4 Ом
R25=R2∙R5R1+R2+R5=80∙15624+80+156=48 Ом
Преобразованная схема:
Эквивалентное сопротивление цепи:
R2''=R3+R15+R4+R12∙R6+R25R4+R12+R6+R25=93+14,4+36+7,385∙36+4836+7,385+36+48=136,009 Ом
Ток I3'':
I3''=E3R2''=150136,009=1,103 А
Токи I4'' и I6'':
I4''=I3''∙R6+R25R4+R12+R6+R25=1,103∙36+4836+7,385+36+48=0,727 А
I6''=I3''-I4''=1,103-0,727=0,376 А
Токи I4'', I5'' и I6'':
I1''=E3-I3''R3-I4''R4R1=150-1,103∙93-0,727∙3624=0,885 А
I2''=I1''-I4''=0,885-0,727=0,158 А
I5'=I6'-I2'=0,37-0,158=0,217 А
Токи ветвей определяем путем алгебраического суммирования составляющих, создаваемых каждым источником в отдельности с учетом их направления в исходной схеме и в схемах с каждым источником.
I1=-I1'+I1''=-0,29+0,885=0,595 А
I2=I2'-I2''=0,745-0,158=0,587 А
I3=-I3'+I3''=-0,101+1,103=1,002 А
I4=-I4'-I4''=-0,455-0,727=-1,182 А
I5=I5'+I5''=0,189+0,217=0,406 А
I6=-I6'+I6''=-0,556+0,376=-0,181 А
Выполним расчет тока в ветви с R4 методом эквивалентного генератора