Определить все токи, напряжения и мощности на всех элементах цепи

1. Определяем все токи, напряжения и мощности на всех элементах цепи.
Укажем направления фазных и линейных напряжений и токов в электрической цепи
Рисунок 4.1 – Схема трехфазной цепи.
Фазные напряжения источника
UA=UA∙ej0°=150∙ej0°=150+j0 В; (4.1)
UB=UB∙e-j120°; (4.2)
UB=200∙e-j120°=200∙e-j120°=-100-j173,205 В;
UC=UC∙ej120°; (4.3)
UC=250∙ej120°=250∙ej120°=-125+j216,506 В.
Линейные напряжения источника
UAB=UA-UB; (4.4)
UAB=150+j0--100-j173,205;
UAB=250+j173,205=304,138∙e+j34,715° В;
UBC=UB-UC; (4.5)
UBC=-100-j173,205--125+j216,506;
UBC=25-j389,711=390,512∙e-j86,329° В;
UCA=UC-UA; (4.6)
UCA=-125+j216,506-150+j0;
UCA=-275+j216,506=350∙e+j141,787° В.
Для лучшей наглядности и упрощения расчетов переведем сопротивления линий и приемников в показательную форму:
Zл=4+j5=6,403∙e+j51,34° Ом; (4.7)
Z1=23+j16=28,018∙e+j34,824° Ом; (4.8)
Z2=24-j24=33,941∙e-j45° Ом; (4.9)
Z3=16-j20=25,612∙e-j51,34° Ом; (4.10)
Z4=20+j20=28,284∙e+j45° Ом; (4.11)
Z0=14-j16=21,26∙e-j48,814° Ом. (4.12)
Упростим электрическую схему следующим образом
Рисунок 4.2 – Упрощенная схема трехфазной цепи.
В которой сопротивление Z34 равно
Z34=Z3∙Z4Z3+Z4=25,612∙e-j51,34°∙28,284∙e+j45°25,612∙e-j51,34°+28,284∙e+j45°; (4.13)
Z34=20-j2,222=20,123∙e-j6,34° Ом.
Объединим сопротивления линий и приемников
Рисунок 4.3 – Упрощенная схема трехфазной цепи.
В которой сопротивления Zл1,Zл2,Zл34 равны
Zл1=Zл+Z1=4+j5+23+j16; 4.14
Zл1=27+j21=34,205∙e+j37,875° Ом;
Zл2=Zл+Z2=4+j5+24-j24; 4.15
Zл2=28-j19=33,838∙e-j34,16° Ом;
Zл34=Zл+Z34=4+j5+20-j2,222; 4.16
Zл34=24+j2,778=24,16∙e+j6,602° Ом.
Определим эквивалентное сопротивление фаз A и C
Рисунок 4.4 – Упрощенная схема трехфазной цепи.
Где эквивалентное сопротивление Zэкв равно
Zэкв=Zл1+Zл34∙Z0Zл1+Zл34+Z0=27+j21+24+j2,778∙21,26∙e-j48,814°27+j21+24+j2,778+21,26∙e-j48,814°;4.17
Zэкв=15,723-j9,314=18,275∙e-j30,641° Ом.
Определяем проводимости фаз
Рисунок 4.5 – Упрощенная схема трехфазной цепи.
YA=1Zэкв=118,275∙e-j30,641°; 4.18
YA=0,047+j0,028=0,055∙e+j30,641° Сим;
YB=1Zл2=133,838∙e-j34,16°; 4.19
YB=0,024+j0,017=0,03∙e+j34,16° Сим;
YC=1Zэкв=118,275∙e-j30,641°; 4.20
YC=0,047+j0,028=0,055∙e+j30,641° Сим;
YN=1Zэкв=16,403∙e+j51,34°; 4.21
YN=0,098-j0,122=0,156∙e-j51,34° Сим.
Используя Второй закон Кирхгофа по контурам каждой фазы, представим напряжения UA',UB',UC' на эквивалентном приемнике через заданные фазные напряжения источника и напряжения UN:
UA'=UA-UN=150--24,514+j17,486; 4.22
UA'=174,514-j17,486=175,388∙e-j5,722° В;
UB'=UB-UN=-100-173,205j--24,514+j17,486; 4.23
UB'=-75,486-j190,691=205,088∙e-j111,596° В;
UC'=UC-UN=-125+216,506j--24,514+j17,486; 4.24
UC'=-100,486+j199,02=222,95∙e+j116,789° В.
где UN – напряжение между нейтральными точками приемника и источника
UN=YA∙UA+YB∙UB+YC∙UCYA+YB+YC+YN; 4.25
UN=0,055∙e+j30,641°∙150∙e+j0°+0,03∙e+j34,16°∙200∙e-j120°+0,047+j0,028+0,024+j0,017+0,047+
+0,055∙e+j30,641°∙250∙e+j120°+j0,028+0,098-j0,122=-24,514+j17,486=30,111∙e+j144,5° В.
Тогда фазные токи
IA=YA∙UA'=0,055∙e+j30,641°∙175,388∙e-j5,722°; (4.26)
IA=8,704+j4,044=9,597∙e+j24,919° А;
IB=YB∙UB'=0,03∙e+j34,16°∙205,088∙e-j111,596°; (4.27)
IB=1,318-j5,916=6,061∙e-j77,437° А;
IC=YC∙UC'=0,055∙e+j30,641°∙222,95∙e+j116,789°; (4.28)
IC=-10,281+j6,567=12,2∙e+j147,431° А.
Ток в нейтральном проводе равен сумме фазных токов
IN=IA+IB+IC; (4.29)
IN=8,704+j4,044+1,318-j5,916+-10,281+j6,567;
IN=-0,259+j4,695=4,703∙e+j93,159° А.
Полные мощности фаз
SA=UA∙IA*=150∙e+j0°∙9,597∙e-j24,919°; 4.30
SA=1305,57-j606,562=1439,594∙e-j24,919° В∙А;
SB=UB∙IB*=200∙e-j120°∙6,061∙e+j77,437°; 4.31
SB=892,809-j819,924=1212,181∙e-j42,563° В∙А;
SC=UC∙IC*=250∙e+j120°∙12,2∙e-j147,431°; 4.32
SC=2707,063-j1405,037=3049,971∙e-j27,431° В∙А.
Полная мощность трех фаз
S=SA+SB+SC; 4.33
S=1305,57-j606,562+892,809-j819,924+2707,063-j1405,037;
S=4905,442-j2831,523=5663,999∙e-j29,994° В∙А.
Из полученных значений полной мощности можем найти активную и реактивную мощность фаз
PA=1305,57 Вт; PB=892,809 Вт;PC=2707,063 Вт; 4.34
QA=-606,562 ВАр; QB=-819,924 ВАр;QC=-1405,037 ВАр