Определить внутренние силовые факторы Qy и Mz и построить соответствующие эпюры

Выполним предварительные действия. Совместим координатную ось х с осью балки, поместив систему координат на левом конце. Условно отбросим опорные связи и заменим их реакциями.
Определяем опорные реакции из условия статического равновесия конструкции
∑MB = RA(L - CA) - q (CE)(L – СE/2) + Р (L-D)= RA·(14 – 5,6) - 8·(7)·(14 – 7/2) + 13(14-1,4) = RA·8,4 -8·7·10,5 + 13·12,6 = RA·8,4 -424,2 = 0 ⇒ 
RA = 424,2/8,4 = 50,5 кН;
∑MA = RB(L - CA) - q(СА)(CA)/2 + q(АЕ)(АЕ)/2 +Р(СА-D) = RB·(14 – 5,6) - 8·(5,6)·(5,6)/2 + 8·(1,4)·(1,4)/2 + 13·(5,6-1,4) = RB·8,4 - 8·5,6·2,8 + 8·1,4·0,7+13·4,2 = RB·8,4 -63 = 0 ⇒ 
RB = 63/8,4 = 7,5 кН;
Проверка:
∑Y =  - RA + RB + q(СЕ) – Р = -50,5 + 7,5 + 8·7-13 = -63,5 + 7,5 + 56 = -63,5+63,5 = 0;
2) Определяем внутренние силовые факторы Qy и Mz
Участок I (0 ≤ x ≤ 1,4)QI(x) = q·х;QI(0) = 0 кН;QI(1,4) = 8·1,4=11,2 кН;MI(x) = - q· x2/2;
MI(0) = 0 кНм;MI(1,4) = -8·1,42/2 = -7,84 кНм;
Участок II (1,4 ≤ x ≤ 5,6):
QII(x) = qx – Р = 8x - Р = 8x – 13;QII(1,4) = 8·1,4 – 13 = -1,8 кН;QII(5,6) = 8·5,6 -13 = 31,8 кН;MII(x) = - q·x2/2 + Р(х - D)  = - 8x2/2 + 13(х - 1,4) = - 4x2 + 13х - 18,2;MII(1,4) = -4·1,42 +13·1,4 - 18,2 = -7,84 кНм;MII(5,6) = -4·5,62 + 13·5,6 - 18,2 = -70,84 кНм;
Участок III (5,6 ≤ x ≤ 7):
QIII(x) =  qx – Р - RA = 8x – 13 – 50,5 = 8x – 63,5;QIII(5,6) = 8·5,6 - 63,5 = -18,7 кН;QIII(7) = 8·7 – 63,5 = -7,5 кН;MIII(x) = -q·x2/2 + Р(х - D) + RA(x - А)  = -8x2/2 + 13(х - 1,4) + 50,5(х – 5,6) = -4x2 + 13х + 50,5х - 18,2 - 282,8 = -4x2 + 63,5х - 301;MIII(5,6) = -4·5,62 + 63,5·5,6 - 301 = -70,84 кНм;MIII(7) = -4·72 + 63,5·7 - 301 = -52,5 кНм.
Участок IV (7 ≤ x ≤ 14):QIV(x) = =  qx – Р - RA = 8x – 13 – 50,5 = 8x – 63,5;QIV(7) = -7,5 кН;QIV(14) = -7,5 кН;MIV(x) = -q·(СЕ)(х-СЕ/2) + Р(х - D) + RA(x - А)  = -8·7(x-7/2) + 13(х - 1,4) + 50,5(х – 5,6) = -56х + 196 + 13х + 50,5х - 18,2 - 282,8 = 7,5х - 105;MIV(7) = 7,5·7 - 105 = -52,5 кНм;MIV(14) = 7,5·14 - 105 = 0 кНм.
На основании расчетных значений строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рисунок 2).
Рисунок 2 – Расчетные эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
Как видно из эпюры изгибающих моментов, наибольшая величина данного параметра соответствует Mи max = 70,84·103 Н·м, поэтому прочность конструкции будет определяться исходя из данного значения.
3) Из условия прочности при изгибе находим требуемое значение момента сопротивления Wz
σ=Mи maxWz≤[σ]и
Wz≥Mи maxσи=70,84·103150·106=4,723·10-4 м3=472,3·10-6 м3= 472,3 см3
По условию задачи для расчетной балки требуется подобрать двутавровое сечение . По ГОСТ 8239-89 принимаем двутавр №33 с моментом сопротивления при изгибе Wz = 597 см3.
Для дальнейших расчетов балки необходимо иметь значение осевого момента инерции при изгибе, по той же таблице выписываем значение Jx = 9840 см4 = 984·10-7 м4.
4) Вычисление прогибов и углов поворота сечений балки
Определим начальные параметры (угол поворота сечения балки и прогиб) из условия нулевых прогибов над шарнирными опорами. Рассмотрим уравнение прогибов в сечениях А и В:
EIyA = EIy(CA) = EIy0 + EIθ0 CA + q(CA - С)4/24 - Р(CA - D)3/6 == EIy0 + EIθ0·5,6 + 8·(5,6 - 0)4/24 - 13·(5,6 – 1,4)3/6 == EIy0 + EIθ0·5,6 + 167,29 = 0   (1);
EIyB = EIy(L) = EIy0 + EIθ0 L - RA(L – CA)3/6 + q(L)4/24 - q(L - E)4/24 - Р(L - D)3/6 == EIy0 + EIθ0·14 – 50,5·(14 – 5,6)3/6 + 8·(14)4/24 - 8·(14 - 7)4/24 - 13·(14 – 1,4)3/6 == EIy0 + EIθ0·14 + 2682,26 = 0   (2);
Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):EIθ0·8,4 + 2514,97 = 0 ⇒ EIθ0 = -2514,97/8,4 = -299,4 кНм2;
Подставим полученное значение EIθ0 в уравнение (1):EIy0 = - EIθ0·5,6 – 167,29 = 299,4·5,6 – 167,29 = 1509,35 кНм3;
Для дальнейшего построения эпюр углов поворота сечений и величин прогибов условно разбиваем балку на десять участков.
При х=0:
EIθI(x) = EIθ0 + q(x - C)3/6 = -299,4 + 8(x - 0) 3/6 = 4x3/3– 299,4;
EIθI(0) = 4·03/3 – 299,4 = -299,4 кНм2;
θ0= -299,4∙103EI= -299,4∙1032∙1011∙984∙10-7 =-15,2∙10-3 рад;
EIyI(x) = EIy0 + EIθ0 x + q(x - C)4/24 = 1509,35 – 299,4x + x4/3;
EIyI(0) = 1509,35 – 299,4·0 + 04/3= 1509,35 кНм3;
y0= 1509,35∙103EI= 1509,35∙1032∙1011∙984∙10-7 =76,7∙10-3 м;
При х=1,4:
EIθI(x) = EIθ0 + q(x - C)3/6 - Р(x - D)2/2 = -299,4 + 8(x - 0)3/6 – 13(х-1,4)2/2= 8x3/6 – 6,5(х-1,4)2 – 299,4;
EIθI(1,4) = 8·1,43/6 – 6,5(1,4-1,4)2 – 299,4 = -295,74 кНм2;
θ1,4= -295,74∙103EI= -295,74∙1032∙1011∙984∙10-7 =-15∙10-3 рад;
EIyI(x) = EIy0 + EIθ0 x + q(x - C)4/24 – Р(х-D)3/6= 1509,35 – 299,4x + x4/3– 13(х - 1,4)3/6;
EIyI(1,4) = 1509,35 – 299,4·1,4 + 1,44/3– 13(1,4 - 1,4)3/6= 1091,47 кНм3;
y1,4= 1091,47∙103EI= 1091,47∙1032∙1011∙984∙10-7 =55,5∙10-3 м;
При х=2,8:
EIθII(x) = EIθ0 + q(x - C)3/6 - Р(x - D)2/2 = -299,4 + 8(x - 0)3/6 – 13(х-1,4)2/2 = 8x3/6 – 6,5(х-1,4)2 – 299,4;
EIθII(2,8) = 8·2,83/6 – 6,5(2,8-1,4)2 – 299,4 = -282,87 кНм2;
θ2,8= -282,87∙103EI= -282,87∙1032∙1011∙984∙10-7 =-14,4∙10-3 рад;
EIyII(x) = EIy0 + EIθ0 x + q(x - C)4/24 – Р(х-D)3/6= 1509,35 – 299,4x + x4/3 – 13(х - 1,4)3/6;
EIyII(2,8) = 1509,35 – 299,4·2,8 + 2,84/3 – 13(2,8 - 1,4)3/6= 685,57 кНм3;
y2,8= 685,57∙103EI= 685,57∙1032∙1011∙984∙10-7 =34,8∙10-3 м;
При х=4,2:
EIθII(x) = EIθ0 + q(x - C)3/6 - Р(x - D)2/2 = -299,4 + 8(x - 0)3/6 – 13(х-1,4)2/2 = 8x3/6 – 6,5(х-1,4)2 – 299,4;
EIθII(4,2) = 8·4,23/6 – 6,5(4,2-1,4)2 – 299,4 = -251,6 кНм2;
θ4,2= -251,6∙103EI= -251,6∙1032∙1011∙984∙10-7 =-12,8∙10-3 рад;
EIyII(x) = EIy0 + EIθ0 x + q(x - C)4/24 – Р(х-D)3/6= 1509,35 – 299,4x + x4/3 – 13(х - 1,4)3/6;
EIyII(4,2) = 1509,35 – 299,4·4,2 + 4,24/3 – 13(4,2 - 1,4)3/6= 308 кНм3;
y4,2= 308∙103EI= 308∙1032∙1011∙984∙10-7 =15,7∙10-3 м;
При х=5,6:
EIθII(x) = EIθ0 + q(x - C)3/6 - Р(x - D)2/2 - RA(x - A)2/2 = -299,4 + 8(x - 0)3/6 – 13(х-1,4)2/2 – 25,25(x – 5,6)2 = 8x3/6 – 6,5(х-1,4)2 – 25,25(x – 5,6)2 – 299,4;
EIθII(5,6) = 8·5,63/6 – 6,5(5,6-1,4)2 – 25,25(5,6 – 5,6)2 – 299,4= -179,9 кНм2;
θ5,6= -179,9∙103EI= -179,9∙1032∙1011∙984∙10-7 =-9,1∙10-3 рад;
EIyII(x) = EIy0 + EIθ0 x + q(x - C)4/24 – Р(х-D)3/6 - RA(x - A)3/6 = 1509,35 – 299,4x + x4/3 – 13(х - 1,4)3/6 – 50,5(х-5,6)3/6;
EIyII(5,6) = 1509,35 – 299,4·5,6 + 5,64/3 – 13(5,6 - 1,4)3/6 – 50,5(5,6-5,6)3/6= 0 кНм3 ;
y5,6= 0 м;
При х=7:
EIθII(x) = EIθ0 + q(x - C)3/6 - Р(x - D)2/2 - RA(x - A)2/2 = 8x3/6 – 6,5(х-1,4)2 – 25,25(x – 5,6)2 – 299,4;
EIθII(7) = 8·73/6 – 6,5(7-1,4)2 – 25,25(7 – 5,6)2 – 299,4= -95,4 кНм2;
θ7= -95,4∙103EI= -95,4∙1032∙1011∙984∙10-7 =-4,8∙10-3 рад;
EIyII(x) = EIy0 + EIθ0 x + q(x - C)4/24 – Р(х-D)3/6 - RA(x - A)3/6 = 1509,35 – 299,4x + x4/3 – 13(х - 1,4)3/6 – 50,5(х-5,6)3/6;
EIyII(7) = 1509,35 – 299,4·7 + 74/3 – 13(7 - 1,4)3/6 – 50,5(7-5,6)3/6= -189,7 кНм3 ;
y7= -189,7∙103EI= -189,7∙1032∙1011∙984∙10-7 =-9,6∙10-3 м;
При х=8,4:
EIθIII(x) = EIθ0 + q(x - C)3/6 - q(x - E)3/6 - Р(x - D)2/2 - RA(x - A)2/2 = 8x3/6 – 8(x - 7)3/6 - 6,5(х-1,4)2 – 25,25(x – 5,6)2 – 299,4;
EIθIII(8,4) = 8·8,43/6 – 8(8,4 - 7)3/6 - 6,5(8,4-1,4)2 – 25,25(8,4 – 5,6)2 – 299,4 = -29,2 кНм2;
θ8,4= -29,2∙103EI= -29,2∙1032∙1011∙984∙10-7 =-1,5∙10-3 рад;
EIyIII(x) = = EIy0 + EIθ0 x + q(x - C)4/24 - q(x - E)4/24 – Р(х-D)3/6 - RA(x - A)3/6 = 1509,35 – 299,4x + x4/3 - (x - 7)4/3 – 13(х - 1,4)3/6 – 50,5(х-5,6)3/6;
EIyIII(8,4) = 1509,35 – 299,4·8,4 + 8,44/3 - (8,4 - 7)4/3 – 13(8,4 - 1,4)3/6 – 50,5(8,4-5,6)3/6 = -275,2 кНм3;
y8,4= -275,2∙103EI= -275,2∙1032∙1011∙984∙10-7 =-14∙10-3 м;
При х=9,8:
EIθIII(x) = EIθ0 + q(x - C)3/6 - q(x - E)3/6 - Р(x - D)2/2 - RA(x - A)2/2 = 8x3/6 – 8(x - 7)3/6 - 6,5(х-1,4)2 – 25,25(x – 5,6)2 – 299,4;
EIθIII(9,8) = 8·9,83/6 – 8(9,8 - 7)3/6 - 6,5(9,8-1,4)2 – 25,25(9,8 – 5,6)2 – 299,4 = 22,2 кНм2;
θ9,8= 22,2∙103EI= 22,2∙1032∙1011∙984∙10-7 =1,1∙10-3 рад;
EIyIII(x) = = EIy0 + EIθ0 x + q(x - C)4/24 - q(x - E)4/24 – Р(х-D)3/6 - RA(x - A)3/6 = 1509,35 – 299,4x + x4/3 - (x - 7)4/3 – 13(х - 1,4)3/6 – 50,5(х-5,6)3/6;
EIyIII(9,8) = 1509,35 – 299,4·9,8 + 9,84/3 - (9,8 - 7)4/3 – 13(9,8 - 1,4)3/6 – 50,5(9,8-5,6)3/6 = -278,5 кНм3;
y9,8= -278,5∙103EI= -278,5∙1032∙1011∙984∙10-7 =-14,2∙10-3 м;
При х=11,2:
EIθIII(x) = EIθ0 + q(x - C)3/6 - q(x - E)3/6 - Р(x - D)2/2 - RA(x - A)2/2 = 8x3/6 – 8(x - 7)3/6 - 6,5(х-1,4)2 – 25,25(x – 5,6)2 – 299,4;
EIθIII(11,2) = 8·11,23/6 – 8(11,2 - 7)3/6 - 6,5(11,2-1,4)2 – 25,25(11,2 – 5,6)2 – 299,4 = 59 кНм2;
θ11,2= 59∙103EI= 59∙1032∙1011∙984∙10-7 =3∙10-3 рад;
EIyIII(x) = = EIy0 + EIθ0 x + q(x - C)4/24 - q(x - E)4/24 – Р(х-D)3/6 - RA(x - A)3/6 = 1509,35 – 299,4x + x4/3 - (x - 7)4/3 – 13(х - 1,4)3/6 – 50,5(х-5,6)3/6;
EIyIII(11,2) = 1509,35 – 299,4·11,2 + 11,24/3 - (11,2 - 7)4/3 – 13(11,2 - 1,4)3/6 – 50,5(11,2-5,6)3/6 = -220 кНм3;
y11,2= -220∙103EI= -220∙1032∙1011∙984∙10-7 =-11,2∙10-3 м;
При х=12,6:
EIθIII(x) = EIθ0 + q(x - C)3/6 - q(x - E)3/6 - Р(x - D)2/2 - RA(x - A)2/2 = 8x3/6 – 8(x - 7)3/6 - 6,5(х-1,4)2 – 25,25(x – 5,6)2 – 299,4;
EIθIII(12,6) = 8·12,63/6 – 8(12,6 - 7)3/6 - 6,5(12,6-1,4)2 – 25,25(12,6 – 5,6)2 – 299,4 = 81 кНм2;
θ12,6= 81∙103EI= 81∙1032∙1011∙984∙10-7 =4,1∙10-3 рад;
EIyIII(x) = = EIy0 + EIθ0 x + q(x - C)4/24 - q(x - E)4/24 – Р(х-D)3/6 - RA(x - A)3/6 = 1509,35 – 299,4x + x4/3 - (x - 7)4/3 – 13(х - 1,4)3/6 – 50,5(х-5,6)3/6;
EIyIII(12,6) = 1509,35 – 299,4·12,6 + 12,64/3 - (12,6 - 7)4/3 – 13(12,6 - 1,4)3/6 – 50,5(12,6-5,6)3/6 = -120,3 кНм3;
y12,6= -120,3∙103EI= -120,3∙1032∙1011∙984∙10-7 =-6,1∙10-3 м;
При х=14:
EIθIII(x) = EIθ0 + q(x - C)3/6 - q(x - E)3/6 - Р(x - D)2/2 - RA(x - A)2/2 = 8x3/6 – 8(x - 7)3/6 - 6,5(х-1,4)2 – 25,25(x – 5,6)2 – 299,4;
EIθIII(14) = 8·143/6 – 8(14 - 7)3/6 - 6,5(14-1,4)2 – 25,25(14 – 5,6)2 – 299,4 = 88,4 кНм2;
θ14= 88,4∙103EI= 88,4∙1032∙1011∙984∙10-7 =4,5∙10-3 рад;
EIyIII(x) = = EIy0 + EIθ0 x + q(x - C)4/24 - q(x - E)4/24 – Р(х-D)3/6 - RA(x - A)3/6 = 1509,35 – 299,4x + x4/3 - (x - 7)4/3 – 13(х - 1,4)3/6 – 50,5(х-5,6)3/6;
EIyIII(14) = 1509,35 – 299,4·14 + 144/3 - (14 - 7)4/3 – 13(14 - 1,4)3/6 – 50,5(14 - 5,6)3/6 = 0 кНм3;
y14= 0 м;
По полученным результатам углов поворотов сечений и величин прогибов балки строятся соответствующие эпюры в дополнение к ранее полученным эпюрам поперечных сил и изгибающих моментов (рисунок 3).
Рисунок 3 – Эпюры расчётных результатов