Определить токи в ветвях с помощью уравнений

1. Определить токи в ветвях с помощью уравнений, составленных по законам Кирхгофа.
Общее число ветвей – nВ=6, с источником тока nJ=0 ветвей. Значит необходимо составить 6 независимых уравнений по законам Кирхгофа.
Количество уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа nI=nу-1=4-1=3, где nу=4 – количество узлов.
Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа nII=nВ-nJ–(nу-1)=6-0-(4-1)=3.
Выбираем положительные направления токов и обозначаем стрелками. Так же стрелками обозначаем направления обхода независимых контуров: I, II, III.
Уравнения по первому закону для узлов:
узел a:I1-I3-I6=0
узел b: I3+I4-I5=0
узел c: -I1+I2+I5=0
Уравнения по второму закону для контуров:
контур I: I1R1+I3R3+I5R5=E1
контур II: I2R2-I4R4-I5R5=-E4
контур III: -I1R1-I2R2-I6R6=-E1-E6
Объединяем уравнения, записанные по первому и второму законам Кирхгофа в систему:
I1-I3-I6=0I3+I4-I5=0-I1+I2+I5=0I1R1+I3R3+I5R5=E1I2R2-I4R4-I5R5=-E4 -I1R1-I2R2-I6R6=-E1-E6
Подставляем в полученную систему исходные данные:
I1-I3-I6=0I3+I4-I5=0-I1+I2+I5=039I1+34I3+26I5=2343I2-91I4-26I5=-10 -39I1-43I2-79I6=-23-41
Записываем полученную систему в матричной форме:
A∙X=B,
где X – вектор столбец неизвестных (токов), A – матрица коэффициентов, B – вектор столбец свободных членов.
10-100-10011-10-1100103903402600430-91-260-39-43000-79∙I1I2I3I4I5I6=00023-10-64
Полученную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решим в математическом ПО Mathcad матричным способом:
X=A-1∙B
В результате получаем:
I1=0,454 А
I2=0,263 А
I3=0,011 А
I4=0,18 А
I5=0,19 А
I6=0,443 А
2 . Определить токи во всех ветвях методом контурных токов.
Определяем количество независимых контуров в цепи:
nII=nВ-nJ–(nу-1)=6-0-(4-1)=3,
где nВ=6 – общее число ветвей в цепи; nJ=0 – число ветвей, содержащих источник тока; nу=4 – количество потенциальных узлов.
Выберем nII=3 независимых контура и положительные направления контурных токов (II, III, IIII), протекающих в них.
Составляем систему уравнений по методу контурных токов для независимых контуров:
IIR1+R3+R5-IIIR5-IIIIR1=E1-IIR5+IIIR2+R4+R5-IIIIR2=-E4-IIR1-IIIR2+IIIIR1+R2+R6=-E1-E6
Подставляем в полученную систему исходные данные:
II39+34+26-26III-39IIII=23-26II+III43+91+26-43IIII=-10-39II-43III+IIII39+43+79=-23-41
Система уравнений в матричной форме после подстановки численных значений принимает вид:
99-26-39-26160-43-39-43161∙IIIIIIIII=23-10-64
Полученную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решим в математическом ПО Mathcad матричным способом:
В результате получаем:
II=0,011 А
III=-0,18 А
IIII=-0,443 А
Токи в ветвях схемы выражаются через контурные токи:
I1=II-IIII=0,011--0,443=0,454 А
I2=III-IIII=-0,18--0,443=0,263 А
I3=II=0,011 А
I4=-III=--0,18=0,18 А
I5=II-III=0,011--0,18=0,19 А
I6=-IIII=--0,443=0,443 А
3