Определить спектральную плотность униполярного прямоугольного импульса

Найдем спектральную плотность униполярного прямоугольного импульса по формуле:
Uω=-∞∞u(t)∙e-jωtdt (7)
U1ω=-τu2τu2U∙e-jωtdt=U-τu2τu2(cosωt-jsin(ωt))dt=
=2U0τu2(cosωtdt=2Uωsin⁡(ωt)τu20=2Uωsinωτu2
Или
U1ω=Uτusinωτu2ωτu2 (8)
Запишем спектральную плотность униполярного прямоугольного импульса в виде:
U1ω=A1ω-jB1ω
Где
A1ω=Uτusinωτu2ωτu2, B1ω=0
АЧХ и ФЧХ спектральной плотности определяются по формулам:
Uω=A1ω+B1ω, ψω=-arctgBωAω
U1ω=Uτusinωτu2ωτu2 (9)
ψ1ω=0∓πn (10)
Заменяя в формулах (8), (9), (10) на τu2 получаем спектральную плотность, АЧХ и ФЧХ для импульса вдвое короче:
U2ω=Uτu2sinωτu4ωτu4
U2ω=Uτu2sinωτu4ωτu4
Таблица 2.1 - Спектральная плотность прямоугольного одиночного импульса с большей длительностью
Uw∙103
-0.043 0.81 0.163 0.124 -0.037 -0.221 -0.276 -0.091 0.327 0.833 1.21 1.285
∙103
-15 -13.6 -12.2 -10.8 -9.4 -8 -6.6 -5.2 -3.8 -2.4 -1 0.4
Рисунок 2.1 – Спектральная плотность импульса с большей длительностью
Таблица 2.2 - Спектральная плотность прямоугольного одиночного импульса с меньшей длительностью
Uw∙103
-0.021 0.045 0.083 0.049 -0.047 -0.132 0.048 0.31 0.552 0.65 0.552
∙103
-30 -27 -24 -21 -18 -15 -12 -9 -6 -3 0
Рисунок 2.2 – Спектральная плотность импульса с меньшей длительностью
Таблица 2.3- АЧХ прямоугольного одиночного импульса с большей длительностью
Uw∙103
0.042 0.085 0.103 0.046 0.166 0.043 0.221 0.229 0.258 0.964 1.3
∙103
-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0
Рисунок 2.3 – АЧХ спектральной плотности импульса с большей длительностью
Таблица 2.4-АЧХ прямоугольного одиночного импульса с меньшей длительностью
Uw∙103
0.021 0.053 0.021 0.077 0.022 0.132 0.022 0.399 0.65
∙103
-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0
Рисунок 2.4 – АЧХ спектральной плотности импульса с меньшей длительностью
Таблица 2.5-ФЧХ прямоугольного одиночного импульса с большей длительностью
Uw
-1.82 -1.17 -0.52 0 0.13 0.78 1.43
∙103
-2.8 -1.8 -0.8 0 0.2 1.2 2.2
Рисунок 2.5 – ФЧХ спектральной плотности импульса с большей длительностью
Таблица 2.6-ФЧХ прямоугольного одиночного импульса с меньшей длительностью
Uw
-1.869 -1.219 -0.569 0 0.081 0.731 1.381
∙103
-5.75 -3.75 -1.75 0 0.25 2.25 4.25
Рисунок 2.6 – ФЧХ спектральной плотности импульса с меньшей длительностью
center475827Найдем спектральную плотность в случае задержки импульса на τu2 по формуле:
Рисунок 2.7 – униполярный прямоугольный импульс смещенный во времени τu2
U3ω=U1ω∙e-jωτu2
U3ω=2Uωsinωτu2∙e-jωτu2=2Uωsinωτu2∙cosωτu2-jsinωτu2=
=2Uωsinωτu2∙cosωτu2-j2Uωsin2ωτu2
Или U3ω=A3ω+jUB3ω
A3ω=2Uωsinωτu2∙cosωτu2, B3ω=-2Uωsin2ωτu2
Найдем АЧХ и ФЧХ полученной спектральной плотности:
U3ω=2Uω∙sinωτu2∙cos2ωτu2+sin2ωτu2=2Uω∙sinωτu2=
=Uτusinωτu2ωτu2
АЧХ при задержке импульса на τu2 не изменяется.
ψ3ω=ψ1ω±arctgB3ωA3ω
ψ3ω=0±πn+arctg-2Uωsin2ωτu22Uωsinωτu2∙cosωτu2=
=0±πn-arctgsinωτu2cosωτu2
ψ3ω=0±πn-ωτu2
Таблица 2.7 - ФЧХ прямоугольного одиночного импульса смещенного на время τu2
-3.64 -2.34 -1.04 0 0.26 1.56 2.86
∙103
-2.8 -1.8 -0.8 0 0.2 1.2 2.2
Рисунок 2.8 – ФЧХ спектральной плотности импульса смещенного на время τu2
Как видим, смещение сигнала во времени отражается лишь на изменении фазового спектра сигнала.