Определить скорость и ускорение точки. Исходные данные (по шифру ААЛГЕ)

1. Записываем уравнения движения точки A, не обращая внимания на др. части механизма.
В соответствии с заданным вариантом запишем декартовы координаты точки A как функции времени (рис. 1).
x(t) = b(ωt- sinωt).
y(t) = b(1- cosωt).
Или
x(t) = 0,8(0,9t- sin0,9t).
y(t) =0,8(1- cos0,9t).
centertopx
y
O
O1
A
B
M
3
Рис. 1.
0,4 м
00x
y
O
O1
A
B
M
3
Рис. 1.
0,4 м
Это уравнения циклоиды.
Определим положение точки A в начальный момент (при t=0):
x0= 0,80- sin0=0.
y0=0,81- cos0=0.
Точка A в начальный момент времени находилась в начале координат.
В момент времени t1=1,35 с
xt1= bωt1- sinωt1=0,80,9∙1,35- sin0,9∙1,35=0,222 м.
xt1=0,222 м.
yt1= b1- cosωt1=0,81- cos0,9∙1,35=0,521 м.
yt1= 0,521 м.
Так как xt1<b и yt1<b, то в момент времени t1=1,35 с точка A находится на первой дуге циклоиды, ниже максимальной точки траектории.
2 . Находим скорость точки.
Проекции скорости точки на оси неподвижной декартовой системы координат равны:
Vx=xA= bωt- sinωt'= bω1- cosωt=0,8∙0,9∙1-cos0,9t
Vx=0,72(1-cos0,9t).
В момент времени t1=1,35с
Vx1,35=0,72(1-cos⁡(0,9∙1,35))=0,469 мс.
Vx1,35=0,469 мс.
V y=yA=b(1- cosωt)'=bωsinωt=0,8∙0,9∙sin0,9t=0,72sin0,9t;
Vy=0,72sin0,9t.
В момент времени t1=1,35 с
Vy1,35=0,72sin0,9∙1,35=0,675мс.
Vy(1,35)=0,675 мс.
Найдем модуль скорости в момент времени t1=1,35 с.
V1,35=Vx2+Vy2= 0,4692+0,6752=0,822мс;
V1,35=0,822мс.
3. Находим ускорение точки.
ax=Vx=0,72∙0,9sin0,9t=0,648sin0,9t;
ax=0,648sin0,9t
ay=Vy=0,72∙0,9cos0,9t=0,648cos0,9t
ay=0,648cos0,9t
В момент времени t1=1,35 с
ax=0,648∙sin0,9∙1,35=0,607 мс2
ax=0,607 мс2
ay=0,648∙cos0,9∙1,45=0,226 мс2