Определить с помощью годографа передаточного коэффициента, устойчива ли изображенная на рисунке замкнутая система автоматического регулирования, если передаточные функции ее звеньев имеют вид:
, , , ,
Решение
Сведём схему к одноконтурной.
Звено W2(p) охвачено отрицательной обратной связью; в качестве звена ОС выступает звено W4(p); ПФ контура:
Структурная схема примет вид:
Эквивалентная ПФ разомкнутой системы может быть определена как произведение ПФ всех звеньев, последовательно включенных в контур:
Знаменатель ПФ разомкнутой системы представляет собой полином 2 порядка со всеми положительными коэффициентами, следовательно, разомкнутая система устойчива.
Тогда, по критерию Найквиста, замкнутая система будет устойчива, если годограф передаточного коэффициента разомкнутой системы (он же годограф АФЧХ) не будет охватывать точку (-1; i0).
Для расчёта АФЧХ перейдём к комплексной частотной характеристике, произведя замену оператора Лапласа р→i·ω, где i – мнимая единица; ω – частота:
Избавимся от мнимой составляющей в знаменателе, домножив числитель и знаменатель КЧХ на комплексно-сопряжённый знаменателю полином:
Данное выражение КЧХ можно представить в виде: , где U(ω) и V(ω) – действительная и мнимая составляющие КЧХ соответственно
на новый заказ в Автор24.
