Определить план выпуска продукции, обеспечивающий производителю максимальную выручку от реализации продукции

1.Пусть x1, x2, x3 – количество реализованных товаров , , вида соответственно.
Тогда математическая модель задачи имеет вид:
F=c1x1+c2x2+c3x3→max,
a11x1+a12x2+a13x3≤b1,a21x1+a22x2+a23x3≤b2,a31x1+a32x2+a33x3≤b3;x1, x2,x3≥0.
Подставляем значения:
F=4x1+3x2+7x3→max,
2x1+x2+x3≤280,x1+x3≤80,x1+2x2≤250;x1, x2,x3≥0.
Избавимся от неравенств в ограничениях, введя балансовые переменные:
2x1+x2+x3+x4=280,x1+x3+x5=80,x1+2x2+x6=250;
В полученной системе ограничений базисными переменными являются x4, x5, x6.
Формируем начальную симплекс-таблицу:
Базисные переменные х1
х2
х3 х4
х5 х6
Свободные члены
х4
2 1 1 1 0 0 280
х5 1 0 1 0 1 0 80
х6
1 2 0 0 0 1 250
F -4 -3 -7 0 0 0 0
За ведущий выберем столбец 3, так как -7 наименьший элемент в F строке.
За ведущую выберем строку 2, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для второй строки является наименьшим.
Базисные переменные х1
х2
х3 х4
х5 х6
Свободные члены отношение
х4
2 1 1 1 0 0 280 280
х5 1 0 1 0 1 0 80 80
х6
1 2 0 0 0 1 250 -
F -4 -3 -7 0 0 0 0 -
Элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент и записываем в соответствующей по номеру строке новой таблицы: , при i = r.Все остальные элементы новой таблицы рассчитываем по формулам:
,при i ≠ r
где - элемент новой симплекс-таблицы, aij, - элемент предыдущей симплекс-таблицы, ark - разрешающий элемент , aik - элемент разрешающего столбца, arj - элемент разрешающей строки.
Базисные переменные х1
х2
х3 х4
х5 х6
Свободные члены отношение
х4
1 1 0 1 -1 0 200 200
Х3 1 0 1 0 1 0 80 -
х6
1 2 0 0 0 1 250 125
F 3 -3 0 0 7 0 560 -
В строке F есть отрицательный элемент, значит, полученный план не оптимален.
За ведущий выберем столбец 2, так как -3 наименьший элемент в F строке. За ведущую выберем строку 3, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для третьей строки является наименьшим.
Базисные переменные х1
х2
х3 х4
х5 х6
Свободные члены
х4
½ 0 0 1 -1 -1/2 75
Х3 1 0 1 0 1 0 80
Х2
½ 1 0 0 0 ½ 125
F 9/2 0 0 0 7 3/2 935
В строке F нет отрицательных элементов, значит, полученный план оптимален.
Оптимальный план:x1=0, x2=125, x3=80;F=935.
В оптимальный план вошла дополнительная переменная x4. Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы первого сорта в количестве 75 чел.-нед.
2. Двойственная задача:
F(Y)=280Y1+80Y2+250Y3 (min)
Ограничения:
2Y1 + 1Y2 + 1Y3
≥ 4
1Y1 + 0Y2 + 2Y3
≥ 3
1Y1 + 1Y2 + 0Y3
≥ 7
Y1 ≥ 0
Y2 ≥ 0
Y3 ≥ 0
В двойственной задаче b (коэффициенты целевой функции)- цены сырья соответствующего вида. А целевая функция F(Y)- общие затраты на приобретение сырья, которые требуется минимизировать.
Путём решения двойственной задачи линейного программирования находятся цены y, точнее говоря, объективно обусловленные оценки . Они являются компонентами оптимального решения двойственной задачи линейного программирования.
Компоненты оптимального решения двойственной задачи называют оптимальными(двойственными) оценками исходной задачи.
Обратимся к экономическому смыслу переменных обоих взаимно двойственных задач.
План производства Остатки ресурсов, единиц
x1=0 x2=125 x3=80 x4=75 x5=0 x6=0
↨ ↨ ↨ ↨ ↨ ↨
y4=41/2 y5=0 y6=0 y1=0 y2=7 y3=11/2
Превышение затрат на ресурсы над ценой реализации (возможный убыток от производства продукции) Объективно обусловленные оценки ресурсов (теневые, условные, скрытые цены ресурсов)
Fmin(0,7,3/2,9/2,0,0)=935- решение двойственно задачи.
Объективно обусловленные оценки ресурсов определяют степень дефицитности ресурсов: по оптимальному плану производства дефицитные( то есть полностью используемые) ресурсы получают ненулевые оценки, а недефицитные - нулевые оценки.
Объективно обусловленные оценки ресурсов показывают, на сколько денежных единиц изменится максимальная выручка от реализации продукции при изменении запаса соответствующего ресурса на одну единицу.
Пусть появилась возможность выпуска дополнительного вида продукции Р4 при следующих условиях расхода сырья соответствующего вида на единицу продукции номер 3: а14=1,а24=1,а34=1.а44=1
Сравним дополнительные затраты на ресурсы в расчете на единицу продукции Р4 с ценой ее реализации : y1+y2+y3=0+7+3/2=17/2. Чтобы производство продукции Р4 стало рентабельным, ее цена должны составлять не менее 17/2 ден ед.
3.
Значение 41/2> 0 в столбце x1 означает, что использование x1 - не выгодно. Значение 0 в столбце x2 означает, что использование x2 - выгодно. Значение 0 в столбце x3 означает, что использование x3 - выгодно. Значение 0 в столбце x4 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна y1=0. Значение 7 в столбце x5 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна y2=7. Значение 11/2 в столбце x6 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна y3=11/2. 
Обоснование эффективности оптимального плана. 
При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим: 2*0 + 1*7 + 1*11/2 = 81/2 > 4 1*0 + 0*7 + 2*11/2 = 3 = 3 1*0 + 1*7 + 0*11/2 = 7 = 7 
1-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. продукцию 1-го вида производить экономически не выгодно. И действительно в оптимальном плане прямой задачи x1 = 0. 
При этом разница между ценами (81/2 - 4 = 41/2) показывает величину изменения целевой функции F(x) при введении дополнительной единицы xi. 
2-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-й продукт экономически выгодно производить (убытки от производства этого вида продукции отсутствуют), а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x2>0). 
3-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство