Определить опорные реакции. Построить эпюры поперечных сил «Q» и изгибающих моментов «M»

Выбор осей координат
Ось z направим вдоль продольной оси балки, а ось y направим вертикально вверх.
1. Определение опорных реакций
Запишем условия равновесия балки для определения реакций, возникающих в опорах B и D (обозначим их как YB, ZB и YD соответственно):
MB=0: M+0,5∙M-q∙a22-F∙a+YD∙l=0→
→YD=q∙a22+F∙a-1,5∙M l=4∙522+3∙5-1,5∙12 l=5,875 кН
- положительный знак говорит о том, что выбранное направление реакции совпадает с действительным направлением.
Fy=0: YB-q∙a-F+YD=0→YB=q∙a+F-YD=
=4∙5+3-5,875=17,125 кН
- положительное значение реакции говорит о том, что выбранное направление совпадает с действительным направлением реакции.
Fz=0:ZB=0 кН
Проверка (определим сумму моментов всех сил относительно точки D):
MD=0: 1,5∙M-YB∙l+q∙a∙l-0,5∙a+F∙l-a=0
1,5∙12-17,125∙8+4∙5∙8-0,5∙5+3∙8-5=0
Реакции определены правильно!
2. Определение внутренних усилий М и Q и построение поперечных Q сил и изгибающих моментов М.
Для построения эпюр М и Q воспользуемся методом сечения. Мысленно последовательно разрежем балку на каждом из 3-х участков и рассмотрим условия равновесия каждой из частей в отдельности.
Участок №1 (от точки A до точки B):
Проведем сечение 1-1 на расстоянии z1 от точки А. Рассмотрим равновесие части балки слева от сечения. Действие отсеченной правой части балки заменим неизвестными пока усилиями Q1(z1) и M1(z1) .
Fy=0: Q1(z1)=0=const
Mk1=0: M+M1(z1)=0→ M1(z1) =-M=-12 кН∙м=const
Участок №2 (от точки B до точки C):
Fy=0: YB-q∙z2-Q2(z2)=0→Q2(z2)=YB-q∙z2
Q2(z2=0)=YB=17,125 кН
Q2(z2=a)=YB-q∙a=17,125-4∙5=-2,875 кН
На втором участке балки наблюдается экстремум, определим ординату экстремума:
Qi(zi)=Mi(zi)'
Q2(z2extr)=0=YB-q∙z2extr→z2extr=YBq=4,281 м
Mk2=0: M-YB∙z2+q∙z222+M2(z2)=0→
M2(z2) =YB∙z2-q∙z222-M
M2(z2=0)=-M=-12 кН∙м
M2(z2=a)=YB∙a-q∙a22-M=17,125∙5-4∙522-12=23.625 кН∙м
Экстремум функции изгибающего момента на участке №2:
M2z2extr=YBq=YB∙z2-q∙z222-M=YB22∙q-M=17,12522∙4-12
M2z2extr=YBq=24,658 кН∙м
Участок №3 (от точки C до точки B):
Fy=0:YD+ Q3(z3)=0→Q3(z3)-YD=-5,875=const
Mk3=0: 0,5∙M+YD∙z3-M3(z3)=0→M3(z3)=0,5∙M+YD∙z3
M3(z3=0)=0,5∙M=6 кН∙м
M3(z3=l-a)=0,5∙M+YD∙l-a=0,5∙12+5,875∙(8-5)=6 кН∙м
M3(z3=l-a)=23.625 кН∙м
3 . Максимальное по модулю значение изгибающего момента наблюдается на втором участке балки в точке, отстоящей от точки В на величину z2extr=YBq=4,281 м в сторону положительного направления оси 0z
M2z2extr=YBq=24,658 кН∙м
4. Подбор заданного сечения из условия прочности
Требуемый момент сопротивления при изгибе для заданной балки в соответствии с формулой равен:
Wx≥Mmaxσ=24,658∙103 Н∙м140∙106 Нм2∙109=176,13 см3
Поперечное сечение стальной балки – квадрат со стороной b.
Момент сопротивления квадратного поперечного сечения определяется по следующей формуле:
Wx=b36→b=36∙Wx=36∙176,13 =10,186 см
Округлим полученное значение по Ra5: b=100 мм
Определим величину перегрузки:
σрасч=MmaxWx расч=6∙Mmaxb3=6∙24,658∙103∙1031003=147,949 МПа
Величина перегрузки равна:
θотн=σрасч-σσ∙100%=147,949 -140140∙100%=5,678%
Величина перегрузки больше разрешенной ( которая, как правило, составляет 5% ), поэтому примем размер b=105 мм по Ra40.
Wx оконч=b36=10536=1,929∙105 мм3
5