Определение условий резонанса, расчёт цепи при резонансе.
Для заданного варианта выполнить следующее:
– рассчитать резонансную частоту ω0;
– определить эквивалентные активное и реактивное сопротивления (проводимости) для частот ω02, ω0 и 2ω0;
– рассчитать в комплексной форме для частот ω02, ω0 и 2ω0 токи и напряжения;
– построить для частот ω02, ω0 и 2ω0 векторные диаграммы токов и напряжений в цепи.
Дано: R0=20 Ом; R1=40 Ом; R2=500 Ом; L=0,5 мГн; C=0,4 мкФ; U0=10 В.
Решение
Рассмотрим двухполюсник, представленный на схеме. Элементы L и C принадлежат к участкам цепи, которые соединены последовательно. Поэтому эту электрическую цепь нужно рассматривать как последовательный колебательный контур.
Запишем выражение для входного комплексного сопротивления этой цепи:
z=R0+jωL+R2∙R1-jωCR2+R1-jωC=R0+jωL+R2∙R1-jωC∙R2+R1+jωCR2+R1-jωC∙R2+R1+jωC=R0+jωL+R1R22-jR22ωC+R12R2-jR1R2ωC+jR1R2ωC+R2ωC2R2+R12+1ωC2=R0+jωL+R1R22-jR22ωC+R12R2+R2ωC2R2+R12+1ωC2=R0+jωL+R1R22+R12R2+R2ωC2R2+R12+1ωC2+-jR22ωCR2+R12+1ωC=R0+R1R22+R12R2+R2ωC2R2+R12+1ωC2+jωL-R22ωCR2+R12+1ωC=Rω+jXω,
где
Rω=R0+R1R22+R12R2+R2ωC2R2+R12+1ωC2
Xω=ωL-R22ωCR2+R12+1ωC
Определим резонансную частоту колебательного контура из условия Xω0=0, т.е.
ωL-R22ωCR2+R12+1ωC=0
Решая это уравнение относительно ω0, получим:
ω0=1LC∙R22-LCR2+R12=10,5∙10-3∙0,4∙10-6∙5002-0,5∙10-30,4∙10-6500+402=65,309∙103 радс
Определим эквивалентное активное и реактивное сопротивления цепи для резонансной частоты:
Rω=R0+R1R22+R12R2+R2ω0C2R2+R12+1ω0C2=20+40∙5002+402∙500+50065,309∙103∙0,4∙10-62500+402+165,309∙103∙0,4∙10-62=59,352 Ом
Xω=ω0L-R22ω0CR2+R12+1ω0C=65,309∙103∙0,5∙10-3-500265,309∙103∙0,4∙10-6∙500+402+165,309∙103∙0,4∙10-6=0
Результаты расчёта эквивалентных сопротивлений Rω и Xω для частот ω02 и 2ω0 выполнены аналогичным образом и представлены в таблице 1.
Таблица 1
. Результаты вычислений эквивалентных сопротивлений цепи
Параметр Частоты, радс
ω02
ω0
2ω0
Rω
66,159 59,352 57,618
Xω
-48,017 0 48,92
Реактивные сопротивления при резонансной частоте ω0:
XL=ω0L=65,309∙103∙0,5∙10-3=32,654 Ом
XC=1ω0C=165,309∙103∙0,4∙10-6=38,28 Ом
Определим токи в ветвях при резонансной частоте ω0:
I0=U0R+jX=1059,352=0,168 А
I1=I0R2R1-jXC+R2=0,168∙50040-j38,28+500=0,155+j0,011=0,156ej4,055° А
I2=I0R1-jXCR1-jXC+R2=0,168∙40-j38,2840-j38,28+500=0,013-j0,011=0,017e-j39,686° А
Выполним проверку по закону токов Кирхгофа:
I0=I1+I2=0,155+j0,011+0,013-j0,011=0,168 А
Определим напряжения на элементах при резонансной частоте ω0:
UR0=R0I0=20∙0,168=3,37 В
UL=jXLI0=j32,654∙0,168=j5,502=5,502ej90° В
UR1=R1I1=40∙0,155+j0,011=6,209+j0,44=6,225ej4,055° В
UC=-jXCI1=-j38,28∙0,155+j0,011=0,421-j5,942=5,957e-j85,945° В
UR2=R2I2=500∙0,013-j0,011=6,63-j5,502=8,616e-j39,686° В
Выполним проверку по закону напряжений Кирхгофа:
U0=UR0+UL+UR2=3,37+j5,502+6,63-j5,502=10 В
U0=UR0+UL+UR1+UC=3,37+j5,502+6,209+j0,44+0,421-j5,942=10 В
UR2-UR1-UC=6,63-j5,502-6,209+j0,44-0,421-j5,942=0
Результаты расчёта токов и напряжений в цепи для частот ω02 и 2ω0 выполнены аналогичным образом и представлены в таблице 1.
Таблица 1
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
