Определение параметров напряженного состояния

1. Разложение тензора напряжений: Tσ=Tσ0+Dσ.
Тензор напряжений:
Tσ=σxτyxτzxτxyσyτzyτxzτyzσz=2001102001100160200160100
Шаровой тензор:Tσ0=σср000σср000σср=100000100000100,(1)
где σср – среднее напряжение:
σср=σx+σy+σz3=200+0+1003=100
Гидростатическое давление:
p=-σср=-100 .
Девиатор напряжений:
Dσ=σx-σсрτyxτzxτxyσy-σсрτzyτxzτyzσz-σср=100110200110-1001602001600.(2)
ZC

yx
z
pz
pn

x
xy
xz
n
y

M
ny
yz
p
p
Y

x
xzy

y
zx
B
z
X
A
2. Определение напряжений на наклонной площадке.
Полное напряжение:
pn=px2+py2+pz2.(3)
Проекции полного напряжения на координатные оси:
px=σxαx+τyxαy+τzxαz=200∙23+110∙13+200∙23=303,33 МПа;
py=τxyαx+σyαy+τzyαz=110∙23+0∙13+160∙23=180 МПа;
pz=τxzαx+τyzαy+σzαz=200∙23+160∙13+100∙23=253,33 МПа.
pn=303,332+1802+253,332=434,26 МПа
Нормальное напряжение на наклонной площадке:
σn=pxαx+pyαy+pzαz=303,33∙23+180∙13+253,33∙23=
=431,11 МПа.(4)
Касательное напряжение на наклонной площадке:
τn=pn2-σn2=434,262-431,112=52,21 МПа.(5)
3 . Определение главных нормальных напряжений и характеристик вида напряженного состояния. Построение треугольника В.М. Розенберг.
3.1. Инварианты тензора напряжений.
I1Tσ=σx+σy+σz=200+0+100=300 МПа;
I2Tσ=σxσy+σyσz+σzσx-τxy2-τyz2-τzx2=200∙0+0∙100+100∙200-1102-1602-2002=-57700 МПа2;
I3Tσ=σxτyxτzxτxyσyτzyτxzτyzσz=σxσyσz+2τxyτyzτzx-σxτyz2-σyτzx2-σzτxy2=
=200∙0∙100+2∙110∙160∙200-200∙1602-0∙2002-100∙1102=710000 МПа3.
3.2. Инварианты девиатора напряжений.
I1(Dσ)=0;
I2Dσ=16σx-σy2+σy-σz2+σz-σx2+6τxy2+τyz2+τzx2=16200-02+0-1002+100-2002+6∙1102+1602+2002=87700 МПа2;
I3Dσ=σx-σcpτyxτzxτxyσy-σcpτzyτxzτyzσz-σcp=(σx-σcp)σy-σcpσz-σcp+
+2τxyτyzτzx-σx-σcpτyz2-σy-σcpτzx2-σz-σcpτxy2=
=100∙-100∙0+2∙110∙160∙200-100∙1602-(-100)∙2002-0∙1102=8480000 МПа3.
3.3. Интенсивность напряжений (интенсивность нормальных напряжений):
σi=3I2Dσ=387700=512,93 МПа;(6)
3.4