Определение оптимального сечения изгибаемого элемента из клеёной древесины

Первый этап - составление математическое описание задачи.
1. Определим границы элемента. Для этого изобразим расчётную схему элемента (модель объекта), которая представлена на рис. 1 и описывается следующими параметрами:
– геометрическими: b, h, l, при этом сечение балки составное – из склеенных между собой досок толщиной t;
– физическими: E, Ru;
– параметрами граничных условий: а) кинематических – на рис. 1 показаны шарнирные закрепления на левой и правой опорах балки; б) силовых – там же приведена схема приложения нагрузки q и её величина.
Рис. 1. Расчётная схема балки
2. Выберем критерий оптимальности: объем древесины изгибаемого элемента (для конструкции из однородного материала этот критерий более удобен, чем вес конструкции или стоимость).
3. Определим общее число независимых параметров, влияющих на величину критерия оптимальности, проведем их ранжирование на эту величину. Объём элемента определяется по известной формуле:
V = bhl. (1)
В выражении (1) длина элемента – величина постоянная, т.е. l=4 м – const (по условию задачи) является неуправляемым или иначе свободным параметром. Поэтому на критерий оптимальности влияют два управляемых параметра: x1→h и x2→b – высота и ширина поперечного сечения элемента.
4. Составим уравнение целевой функции. Используя выражение (1) запишем:
F= V= bhl= 4bh →min . (2)
5. Составим неравенства-ограничения. Из курса сопротивления материалов известно, что плоскому изгибу наилучшим образом сопротивляются сечения балок, которые вытянуты вдоль плоскости изгиба. Это так, поскольку при определении прочности и жёсткости балки, соответственно, для момента сопротивления W=bh2 /6 и момента инерции I=bh3/12, высота сечения h стоит во второй и третьей степени и её влияние поэтому более ощутимо, чем у ширины сечения b, стоящей в первой степени.
Поэтому если увеличение h балки не ограничено требованиями высоты перекрытия, то высота сечения балки минимального объёма стремиться к бесконечности. Однако рост h сдерживается соображениями устойчивости плоской формы изгиба: чем меньше ширина сечения балки b, тем меньше критическая нагрузка потери устойчивости. Следовательно, оптимальной по объёму будет такая балка, у которой запасы прочности, жёсткости и устойчивости равны .
Помимо расчётных (теоретических) ограничений для реальных балок существуют также конструктивные требования (ограничения). Так, балки из досок, склеенных плашмя, имеют ширину сечения не более 170 мм, что позволяет изготавливать их из цельных по ширине досок. При этом нормы рекомендуют принимать ширину сечения не менее b≥h/6, а высоту находить в пределах h≈(1/10-1/12)l. Кроме того, балки склеивают из досок толщиной t не более 50 мм.
Таким образом, для рассматриваемого изгибаемого элемента (рис. 1) запишем следующие ограничения-неравенства:
– из условия прочности
σ=MW≤Ruγd; (3)
– из условия устойчивости плоской формы изгиба
σкр=MW≤Ruγdφd; (4)
– из условия деформативности
f=5ql4384El≤f; (5)
– из конструктивных требований
b≤170мм, h≤1/10l≈400 мм; t≤50мм, (6)
где f – прогиб в опасном сечении; [f]=l/300 – предельный прогиб; φd – коэффициент поперечной устойчивости балки.
6. Поскольку задача является линейной, статически определимой, то надобности в уравнениях состояния нет.
Второй этап – решение математической задачи.
7. Проведем анализ целевой функции и неравенств-ограничений. Целевая функция (2) представляет собой уравнение с двумя неизвестными (b, h), характеризующими размеры поперечного сечения балки.
Для удобства анализа неравенств-ограничений (3-5) перепишем их в следующем виде:
– из условия прочности
σ=MW=ql286bh2≤Ruγd⇒3ql24bh2≤Ruγd, (7)
где M=ql28- величина максимального изгибающего момента в середине пролёта балки;
– из условия устойчивости плоской формы изгиба
σкр=3ql24bh2≤Ruγd160b2hl⇒ 3ql3640b3h≤Ruγd, (8)
где φd=160b2hl – коэффициент поперечной устойчивости для однопролётной балки, загруженной равномерно распределённой нагрузкой;
– из условия деформативности
f=5qnl4384El=5qnl412384Ebh3≤l300⇒750qγfml316Ebh3≤1; (9)
где qn=qγfm- нормативная погонная нагрузка; γfm= 1,25 – средний коэффициент надёжности по нагрузке;
– из конструктивных требований
h= nb ≤400мм, n=1; 1,5; 2; 3; 4; 6; b ≤170мм ; t≤50мм, (10)
где n – число кратности, дискретные значения которого приняты произвольно по конструктивным соображениям.
То есть ограничения (7)-(10) представляют собой неравенства с двумя неизвестными h и b, характеризующими размеры поперечного сечения балки.
Таким образом, на основании математического описания задачи (2), (7)-(10) она относится к задачам линейного программирования с двумя неизвестными h и b