Определение характеристик движения точек и тел плоского механизма
Рис.Д1
Груз М массой m=10 кг начинает движение из точки D с начальной скоростью V0=20 м/с. Его движение происходит по наклонной плоскости длины l, составляющей угол α=15°с горизонтом вдоль линии АВ наибольшего ската. Положение точки D задается величиной AD = s0=30 м, вектор начальной скорости V0 направлен параллельно прямой АВ к точке В. При движении по плоскости на груз действует постоянная сила Q=20 Н, направление которой задается углом γ=30°; коэффициент трения скольжения между грузом и наклонной плоскостью равен f=0,1. Через τ с груз покидает плоскость или в точке A, или в точке B и, двигаясь далее в вертикальной плоскости под действием только силы тяжести, через T секунд после отделения от плоскости попадает в точку С. Все возможные варианты траекторий движения груза в точку C показаны на рисунках.
Считая груз материальной точкой найти:
– точку (А или В) отрыва груза от плоскости;
– время τдвижения груза по наклонной плоскости;
– скорость грузаVB (или VA) в момент отрыва;
– координаты xC, yC точки C приземления груза;
– время T движения груза в воздухе;
– скорость VC груза в точке падения.
Решение
1. Изучение движения на участке АВ
Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Для описания прямолинейного движения груза достаточно одной координатной оси х1 , которую направим в сторону направления начальной скорости V0 (рис. Д1‒1).
Рис.Д1−1
Изобразим груз в произвольном положении и покажем действующие на него силы: силу тяжести груза G, нормальную реакцию N, заданную силу Q и силу трения скольжения Fтр (рис. Д1‒2).
Рис.Д1−2
Составим дифференциальное уравнение движения груза вдоль оси 0х1.
mx1=Fkx1 mx1=-G∙sinα+Q∙cosγ-Fтр (1)
Распишем входящие в уравнение силы: силу тяжести G=mg и силу трения скольжения, которая в общем случае вычисляется по формуле
Fтр = f∙N. (2)
Для определения нормальной реакции N проведем следующие рассуждения. Движение тела происходит вдоль оси 0х1, а в направлении перпендикулярном этой оси никакого движения нет. Поэтому, если на рисунке провести ось 0у1,то можно записать my1=Fky1, и тогда получим
Fky1=N-mg∙cosα+Q∙sinγ (3)
Величину нормальной реакции N найдем из уравнения (3)
N=mg∙cosα-Q∙sinγ (4)
Таким образом, подставляя (2) и (4) в уравнение (1), находим
mx1=-mg∙sinα+Q∙cosγ-f∙mg∙cosα-Q∙sinγ (5)
После сокращения на массу и подстановки числовых значений, получим
x1=-9,8∙0,259+2010∙0,866-0,1(9,8∙0,966-2010∙0,5)
Или
x1=-1,653 (6)
Полученное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Представив левую часть уравнения (6) в виде x=dVxdt , получаем дифференциальное уравнение первого порядка
dVx1dt=-1,653
Для разделения переменных умножаем обе его части уравнения на dt
dVx1=-1,653∙dt
Вычисляем от обеих частей уравнения неопределенные интегралы
dVx1=-1,653dt
получаем первый интеграл от дифференциального уравнения движения тела или выражение скорости, в котором присутствует неизвестная величина С1 (постоянная интегрирования)
.
Vx1=-1,653t+C1 (7)
Для того чтобы проинтегрировать уравнений второй раз представим алгебраическое уравнение скорости в виде дифференциального уравнения первого порядка
dx1dt=-1,653t+C1
Так же, как и ранее, умножаем обе части уравнения на dt
dx1=-1,653t+C1∙dt=-1,653t∙dt+C1∙dt
и вычисляем от обеих частей уравнения неопределенные интегралы
dx1=-1,653dt+C1∙dt
в результате чего получаем второй интеграл от дифференциального уравнения движения тела или уравнение движения тела, в котором присутствуют две постоянных интегрирования С1 и С2.
x1=-1,653∙t22+C1∙t+C2 (8)
Найти постоянные интегрирования можно с помощью начальных условий, в качестве которых в механике используются значения координаты и скорости движущегося объекта в начальный момент времени. Для данной задачи начальные условия имеют вид
t=0 ; x1=s0=30 м ; Vx1=V0=20 мс (9)
Подставляя их сначала в первый
20=-1,653∙0+C1
а затем во второй интегралы
30=-1,653∙022+C1∙0+C2
находим
C1=V0=20 , C2=x1=30
Подставляем найденные значения постоянных интегрирования в уравнения (7) и (8) получаем уравнение скорости и уравнение движения материальной точки в
данной задаче
Vx1=-1,653t+20 (10)
x1=-0,8265t2+20t+30 (11)
Для определения точки, в которой груз покидает плоскость, проведем следующие рассуждения. Дифференциальное уравнение движения груза составлено в предположении, что груз покидает плоскость в точке В. В момент достижения грузом этой точки время движения груза принимает значение , а координата х1 становится равной 100 м (ℓ = 100 м).
Подставляя эти значения в уравнение движения материальной точки (11), получаем
-0,8265τ2+20∙τ+30=100
или
0,8265τ2-20∙τ+70=0
Находим корни этого квадратного уравнения
τ1,2=20±202-4∙0,8265∙702∙0,8265=20±168,581,653=20±12,9841,653
Оба корня уравнения являются положительными и действительными
τ1=4,244 с и τ2=19,954 с
Первое время 1 = 4,244 с соответствует достижению грузом точки В при движении по наклонной плоскости вверх (от А к В)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
