Определение геометрических характеристик сечения

Выбираем начальные координатные оси ОХ0 и ОY0 как показано на рис.3.1.
Cечение имеет ось симметрии ОY0, следовательно абсцисса центра тяжести сечения равна: ХС = 0. Находим площади составных частей сечения:
2а = 2·11 = 22 см, 3а = 3·11 = 33 см, 4а = 4·11 = 44 см, 8а = 8·11 = 88 см
Прямоугольника 1: А1 = 4а·8а = 44·88 = 3872 см2
Прямоугольника 2: А2 = 2а·3а = 22·33 = 726 см2, (площадь - «отрицательная»)
Общая площадь сечения: А = А1 - А2 = 3872 - 726 = 3146 см2.
Ординаты ЦТ отдельных частей, как следует из рисунка 3.1, равны:
уС1 = 4а = 44 см, уС2 = 5,5а = 5,5·11 = 60,5 см
Ординату центра тяжести сечения определим по формул:
УС = ( А1·уС1 - А2·уС2)/А = (3872·44 - 726·60,5)/3146= 40,2 см = 3,65а.
Отмечаем на рисунке точку С (центр тяжести сечения) и проводим через нее координатную ось СХС, параллельную начальной оси ОХ0.
Вычисляем моменты инерции частей сечения относительно собственных главных центральный осей.
Прямоугольник 1: JX1 = 4a·(8a)3/12 = 44·883/12 = 2498731 см4,
JУ1 = 8a·(4a)3/12 = 88·443/12 = 624683 см4.
Прямоугольник 2: JX2 = 2a·(3a)3/12 = 22·333/12 = 65884 см4,
JУ2 = 3a·(2a)3/12 = 33·223/12 = 29282 см4.
Расстояния е1 и е2 между параллельными осями, равны:
е1 = уС1 - уС = 44 - 40,2 = 3,8 см.
е2 = уС2 - уС = 60,5 - 40,2 = 20,3 см.
Рисунок 3.1
Находим главные центральные моменты инерции сечения:
JXС = (JX1 + е21·А1) - (JX2 + е22·А2) = (2498731 + 3,82·3872) - (65884 + 20,32·726) =
= 2189580 см4.
JУС = JУ1 - JУ2 = 624683 - 29282 = 595400 см4.
Вычисляем главные радиусы инерции.
iX = (JXС/A)1/2 = (2189580/3146)1/2 = 26,38 см;
iY = (JYС/A)1/2 = (595400/3146)1/2 = 13,78 см.
Вычисляем моменты сопротивления сечения для нижних, верхних, правых и левых волокон.
Wверх = JXС/(8а - УС) = 2189580/(88 - 40,2) = 45807 см3.
Wнижн = JXС/УС = 2189580/40,2 = 54467 см3.
Wлев = Wправ = JУС /2а = 595400/22 = 27064 см3.
Ответ: ХС = 0, УС = 40,2 см, JXС =2189580 см4; JУС = 595400 см4; iX = 26,38 см;
iY = 13,78 см; Wверх = 45807 см3; Wнижн = 54467 см3; Wлев = Wправ = 27064 см3.