Однородный жёсткий стержень длиной l=1 м и массой M=1 кг свободно висит на горизонтальной идеально гладкой оси вращения О, как показано на рис. Ось вращения перпендикулярна плоскости рисунка. Малый шарик массой m=0,1 кг, летящий горизонтально со скоростью V0, движется в плоскости рисунка и ударяет в стержень.
При этом взаимодействие шарика со стержнем может происходить в виде:
- абсолютно упругого удара (АУУ);
- неупругого удара (НУУ);
- абсолютно неупругого удара (АНУУ).
Сразу после удара стержень вращается с угловой скоростью ω0, а шарик приобретает скорость VК и продолжает двигаться в плоскости рисунка. Другие обозначения:
V0m – минимальная начальная скорость шарика,
ω0m – соответственно минимальная угловая скорость стержня, при которой стержень после удара совершает полный оборот;
ωК - угловая скорость стержня при прохождении им крайней верхней точки;
φm - максимальный угол отклонения стержня от положения равновесия;
ΔE – потери механической энергии при ударе.
Другие исходные данные и искомые величины для каждого варианта задания представлены в таблице.
Расчет следует начинать с определения характерной величины V0m.
№ вар Задано Вид взаимодействия
Определить
V0 VК
ωК V0m ΔE
4 2 V0m 0 НУУ
Рис. 3
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Определим момент инерции стержня относительно оси O, проходящей так, как показано на рисунке 3. Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной ему и проходящей через центр масс стержня, равняется:
IC=Ml212.
По теореме Штейнера определим момент инерции стержня относительно оси
O на рис. 3. Расстояние от оси, проходящей через центр масс стержня, до оси
O равняется a=l2-l6=l3, поэтому момент инерции относительно оси О
равняется: I=IC+Ma2=7Ml236.
До соударения момент импульса системы равнялся L0=mV02l3, после
неупругого соударения момент импульса системы: L = I ω0
. Так как момент
импульса системы сохраняется, то имеем:
L = L0,
2mV0l3=7Mω0l236
Подставим значение момента импульса стержня, получим:
ω0=24 m V07 M l
Выберем нулевой уровень потенциальной энергии проходящим через центр масс свободно висящего стержня. В этом случае сразу после соударения потенциальная энергия стержня равняется нулю, то есть Ep = 0. Кинетическая энергия стержня сразу после соударения равняется:
Eк=Iω022
Выполнив преобразования, получим:
Eк=127Ml23624 mV07Ml2=8m2V027M
В верхнем положении потенциальная энергия стержня равняется Eрк=Mgh.
При этом h=2l3 , таким образом, получим:
Eрк=23Mgl
Кинетическая энергия в верхнем положении равняется:
Eкк=Iωк22=7M l2ωк272.
По закону сохранения полной механической энергии для стержня получим:
Ер + Eк = Ерк+Екк.
Выполнив преобразования, получим 8m2V027M=2Mgl 3+7Ml2ωк272.
Минимальную начальную скорость шарика V0m, при которой стержень совершает полный оборот, найдём из условия, что в верхнем положении кинетическая энергия стержня равняется нулю Екк=0
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
