Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X

1. Построение гистограммы.
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax – Xmin=15,023-14,997=0,026 мм.
Xmax = 15,023 мм – наибольшее из измеренных значений;
Xmin = 14,997 мм – наименьшее из измеренных значений.
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:
n =N=53=7,28.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.
Принимаем n = 7.
Определяем ширину интервала h:
h ==0,0267=0,0037 мм.
Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi
1 интервал: Xmin1 – Xmax1
Xmin1 = Xmin=14,997 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 14,997+0,0037=15,0007 мм
2 интервал: Xmin2 – Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 15,0007 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 15,0044 (мм)
3 интервал: Xmin3 – Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 15,0044 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 15,0081 (мм)
4 интервал: Xmin4 – Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 15,0081 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 15,0118 (мм)
5 интервал: Xmin5 – Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 15,0118 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 15,0155 (мм)
6 интервал: Xmin6 – Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 15,0155 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 15,0192 (мм)
7 интервал: Xmin7 – Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 15,0192 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 15,0229~15,023 мм.
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал: Xo1 = Xmin1 + =14,99885 (мм)
2 интервал:Xo2 = Xmin2 + = 15,00255 (мм)
3 интервал:Xo3 = Xmin3 + = 15,00625 (мм)
4 интервал:Xo4 = Xmin4 + = 15,00995 (мм)
5 интервал:Xo5 = Xmin5 + = 15,01365 (мм)
6 интервал:Xo6 = Xmin6 + = 15,01735 (мм)
7 интервал:Xo7 = Xmin7 + = 15,0211 (мм)
Определение количества размеров попадающих в каждый интервал mi.
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 14,997 15,0007 14,99885 2 0,038
2 15,0007 15,0044 15,00255 3 0,057
3 15,0044 15,0081 15,00625 10 0,189
4 15,0081 15,0118 15,00995 17 0,321
5 15,0118 15,0155 15,01365 13 0,245
6 15,0155 15,0192 15,01735 6 0,113
7 15,0192 15,023 15,0211 2 0,038
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
1720215837565003514090122555001457325863600X=15,011 мм
0X=15,011 мм
2 . Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx ≈ Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=153×(14,99885×2+15,00255×3+15,00625×10+315,00995×17++15,01365×13+15,01735×6+15,0211×2).
15,011 мм.
После подстановки 15,011 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=2*14,99885-15,0112+…+2*15,0211-15,011253=0,001353.
Sx=0,005 мм.
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле:
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле:
Для 1 интервала:
Zo1 =-2,43, что соответствует величине φ(z) = 0,02083.
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,69, что соответствует величине φ(z) = 0,09566.
Для 3 интервала:
Zo3 = -0,95, что соответствует величине φ(z) = 0,25406.
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,21, что соответствует величине φ(z) = 0,39024.
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,53, что соответствует величине φ(z) = 0,34667.
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,27, что соответствует величине φ(z) = 0,17810.
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,02, что соответствует величине φ(z) = 0,05186.
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Для 1 интервала:
No1 =0,817.
Для 2 интервала:
No2 = 3,752.
Для 3 интервала:
No3 = 9,964.
Для 4 интервала:
No4 =15,305.
Для 5 интервала:
No5 = 13,596.
Для 6 интервала:
No6 = 6,985.
Для 7 интервала:
No7 = 2,034.
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
№ интервала Фактическая частота Теоретическая частота
1 0,038 0,015
2 0,057 0,071
3 0,189 0,188
4 0,321 0,289
5 0,245 0,257
6 0,113 0,132
7 0,038 0,038
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра χ-квадрат:
№
интервала mi
N​oi
mi-N​oi
(mi-N​oi)2
(mi-N​oi)2Noi
1 2 0,817 1,183 1,399489 1,712961
2 3 3,752 -0,752 0,565504 0,150721
3 10 9,964 0,036 0,001296 0,00013
4 17 15,305 1,695 2,873025 0,187718
5 13 13,596 -0,596 0,355216 0,026127
6 6 6,985 -0,985 0,970225 0,138901
7 2 2,034 -0,034 0,001156 0,000568
χ2=(mi-N​oi)2Noi=2,217.
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: ,
где – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,05;
- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием).
Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение χq2=9,5.
В силу того, что выполняется условие
χ2=2,217<χq2=9,5,
делаем вывод о том, что исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
3