Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X

1. Построение гистограммы.
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax – Xmin=76,23-75,97=0,26 мм.
Xmax = 76,23 мм – наибольшее из измеренных значений;
Xmin = 75,97 мм – наименьшее из измеренных значений.
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями: n =N=54=7,35.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным. Принимаем n = 7. Определяем ширину интервала h:
h ==0,267=0,037 мм.
Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi
1 интервал: Xmin1 – Xmax1
Xmin1 = Xmin=75,97 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 75,97+0,037=76,007 мм
2 интервал: Xmin2 – Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 76,007 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 76,044 (мм)
3 интервал: Xmin3 – Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 76,044 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 76,081 (мм)
4 интервал: Xmin4 – Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 76,081 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 76,118 (мм)
5 интервал: Xmin5 – Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 76,118 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 76,155 (мм)
6 интервал: Xmin6 – Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 76,155 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 76,192 (мм)
7 интервал: Xmin7 – Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 76,192 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 76,229~76,230 мм.
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал: Xo1 = Xmin1 + =75,9885 (мм)
2 интервал:Xo2 = Xmin2 + = 100,0255 (мм)
3 интервал:Xo3 = Xmin3 + = 100,0625 (мм)
4 интервал:Xo4 = Xmin4 + = 100,0995 (мм)
5 интервал:Xo5 = Xmin5 + = 100,1365 (мм)
6 интервал:Xo6 = Xmin6 + = 100,1735 (мм)
7 интервал:Xo7 = Xmin7 + = 100,211 (мм)
Определение количества размеров, попадающих в каждый интервал mi.
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Таблица 1.1
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 75,97 76,007 75,9885 2 0,037
2 76,007 76,044 76,0255 4 0,074
3 76,044 76,081 76,0625 10 0,185
4 76,081 76,118 76,0995 18 0,333
5 76,118 76,155 76,1365 13 0,241
6 76,155 76,192 76,1735 5 0,093
7 76,192 76,230 76,211 2 0,037
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
338709056959500
1333500470535X=76,103 мм
00X=76,103 мм
157734077787500Рисунок 1.1
2 . Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx ≈ Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=154×(75,9885×2+76,0255×4+76,0625×10+76,0995×18++76,1365×13+76,1735×5+76,211×2).
76,103 мм.
После подстановки 76,103 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=2*75,9885-76,1032+…+2*76,211-76,103254=0,129654.
Sx=0,049 мм.
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле: ϕ(z)=e(-z22)2π
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле: Zoi=Xoi-XSx.
Для 1 интервала:
Zo1 =-2,34, что соответствует величине φ(z) = 0,026.
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,58, что соответствует величине φ(z) = 0,115.
Для 3 интервала:
Zo3 = -0,83, что соответствует величине φ(z) = 0,283.
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,07, что соответствует величине φ(z) = 0,398.
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,68, что соответствует величине φ(z) = 0,317.
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,44, что соответствует величине φ(z) = 0,141.
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,20, что соответствует величине φ(z) = 0,035.
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Noi=N×hSxϕZoi.
Для 1 интервала:
No1 =1,053.
Для 2 интервала:
No2 = 4,669.
Для 3 интервала:
No3 = 11,527.
Для 4 интервала:
No4 =16,227.
Для 5 интервала:
No5 = 12,909.
Для 6 интервала:
No6 = 5,768.
Для 7 интервала:
No7 = 1,446.
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
Таблица 1.2
№ интервала Фактическая частота Теоретическая частота
1 0,037 0,02
2 0,074 0,086
3 0,185 0,213
4 0,333 0,301
5 0,241 0,239
6 0,093 0,107
7 0,037 0,027
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра χ-квадрат:
Таблица 1.3
№
интервала mi
N​oi
mi-N​oi
(mi-N​oi)2
(mi-N​oi)2Noi
1 2 1,053 0,947 0,896809 0,85167
2 4 4,669 -0,669 0,447561 0,095858
3 10 11,527 -1,527 2,331729 0,202284
4 18 16,227 1,773 3,143529 0,193722
5 13 12,909 0,091 0,008281 0,000641
6 5 5,768 -0,768 0,589824 0,102258
7 2 1,446 0,554 0,306916 0,212252
χ2=(mi-N​oi)2Noi=1,659.
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: ,
где – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,02;
- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием).
Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение χq2=11,67.
В силу того, что выполняется условие
χ2=1,659<χq2=11,67,
делаем вывод о том, что исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
3