Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X

1. Построение гистограммы.
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax – Xmin=26,023 – 25,997=0,026 мм.
Xmax = 26,023 мм – наибольшее из измеренных значений;
Xmin = 25,997 мм – наименьшее из измеренных значений.
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями: n =N=51=7,14.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным. Принимаем n = 7. Определяем ширину интервала h:
h ==0,0267=0,0037 мм.
Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi
1 интервал: Xmin1 – Xmax1
Xmin1 = Xmin=25,997 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 25,997+0,0037=26,0007 мм
2 интервал: Xmin2 – Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 26,0007 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 26,0044 (мм)
3 интервал: Xmin3 – Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 26,0944 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 26,0081 (мм)
4 интервал: Xmin4 – Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 26,0081 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 26,0118 (мм)
5 интервал: Xmin5 – Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 26,0118 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 26,0155 (мм)
6 интервал: Xmin6 – Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 26,0155 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 26,0192 (мм)
7 интервал: Xmin7 – Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 26,0192 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 26,0229~26,023 мм.
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал: Xo1 = Xmin1 + =25,99885 (мм)
2 интервал:Xo2 = Xmin2 + = 26,00255 (мм)
3 интервал:Xo3 = Xmin3 + = 26,00625 (мм)
4 интервал:Xo4 = Xmin4 + = 26,00995 (мм)
5 интервал:Xo5 = Xmin5 + = 26,01365 (мм)
6 интервал:Xo6 = Xmin6 + = 26,01735 (мм)
7 интервал:Xo7 = Xmin7 + = 26,0211 (мм)
Определение количества размеров, попадающих в каждый интервал mi.
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Таблица 1.1
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 25,997 26,0007 25,99885 2 0,039
2 26,0007 26,0044 26,00255 3 0,059
3 26,0044 26,0081 26,00625 9 0,176
4 26,0081 26,0118 26,00995 16 0,314
5 26,0118 26,0155 26,01365 13 0,255
6 26,0155 26,0192 26,01735 6 0,118
7 26,0192 26,023 26,0211 2 0,039
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
1710690777875001504950480060X=26,011 мм
00X=26,011 мм
350139052895500Рисунок 1.1
2 . Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx ≈ Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=151×(25,99885×2+26,00255×3+26,00625×9+26,00995×16++26,01365×13+26,01735×6+26,0211×2).
26,011 мм.
После подстановки 79,103 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=2*25,99885-26,0112+…+2*26,0211-26,011251=0,00126751.
Sx=0,005 мм.
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле: ϕ(z)=e(-z22)2π
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле: Zoi=Xoi-XSx.
Для 1 интервала:
Zo1 =-2,43, что соответствует величине φ(z) = 0,021.
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,69, что соответствует величине φ(z) = 0,096.
Для 3 интервала:
Zo3 = -0,95, что соответствует величине φ(z) = 0,254.
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,21, что соответствует величине φ(z) = 0,390.
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,53, что соответствует величине φ(z) = 0,347.
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,27, что соответствует величине φ(z) = 0,178.
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,02, что соответствует величине φ(z) = 0,052.
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Noi=N×hSxϕZoi.
Для 1 интервала:
No1 =0,786.
Для 2 интервала:
No2 = 3,61.
Для 3 интервала:
No3 = 9,588.
Для 4 интервала:
No4 =14,728.
Для 5 интервала:
No5 = 13,083.
Для 6 интервала:
No6 = 6,722.
Для 7 интервала:
No7 = 1,957.
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
Таблица 1.2
№ интервала Фактическая частота Теоретическая частота
1 0,039 0,015
2 0,059 0,071
3 0,176 0,188
4 0,314 0,289
5 0,255 0,257
6 0,118 0,132
7 0,039 0,038
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра χ-квадрат:
Таблица 1.3
№
интервала mi
N​oi
mi-N​oi
(mi-N​oi)2
(mi-N​oi)2Noi
1 2 0,786 1,214 1,473796 1,875059
2 3 3,61 -0,61 0,3721 0,103075
3 9 9,588 -0,588 0,345744 0,03606
4 16 14,728 1,272 1,617984 0,109858
5 13 13,083 -0,083 0,006889 0,000527
6 6 6,722 -0,722 0,521284 0,077549
7 2 1,957 0,043 0,001849 0,000945
χ2=(mi-N​oi)2Noi=2,203.
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: ,
где – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,1;
- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием).
Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение χq2=7,78.
В силу того, что выполняется условие
χ2=2,203<χq2=7,78,
делаем вывод о том, что исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
3