Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X

1. Построение гистограммы.
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax – Xmin=102,23-101,97=0,26 мм.
Xmax = 102,23 мм – наибольшее из измеренных значений;
Xmin = 101,97 мм – наименьшее из измеренных значений.
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями: n =N=52=7,21.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным. Принимаем n = 7. Определяем ширину интервала h:
h ==0,267=0,037 мм.
Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi
1 интервал: Xmin1 – Xmax1
Xmin1 = Xmin=101,97 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 101,97+0,037=102,007 мм
2 интервал: Xmin2 – Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 102,007 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 102,044 (мм)
3 интервал: Xmin3 – Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 102,044 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 102,081 (мм)
4 интервал: Xmin4 – Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 102,081 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 102,118 (мм)
5 интервал: Xmin5 – Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 102,118 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 102,155 (мм)
6 интервал: Xmin6 – Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 102,155 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 102,192 (мм)
7 интервал: Xmin7 – Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 102,192 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 102,229~102,230 мм.
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал: Xo1 = Xmin1 + =101,9885 (мм)
2 интервал:Xo2 = Xmin2 + = 102,0255 (мм)
3 интервал:Xo3 = Xmin3 + = 102,0625 (мм)
4 интервал:Xo4 = Xmin4 + = 102,0995 (мм)
5 интервал:Xo5 = Xmin5 + = 102,1365 (мм)
6 интервал:Xo6 = Xmin6 + = 102,1735 (мм)
7 интервал:Xo7 = Xmin7 + = 102,211 (мм)
Определение количества размеров, попадающих в каждый интервал mi.
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Таблица 1.1
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 101,97 102,007 101,9885 2 0,038
2 102,007 102,044 102,0255 4 0,077
3 102,044 102,081 102,0625 10 0,192
4 102,081 102,118 102,0995 19 0,365
5 102,118 102,155 102,1365 11 0,212
6 102,155 102,192 102,1735 4 0,077
7 102,192 102,230 102,211 2 0,038
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
338709056959500
1333500470535X=102,100 мм
00X=102,100 мм
157734077787500Рисунок 1.1
2 . Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx ≈ Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=152×(101,9885×2+102,0255×4+102,0625×10+102,0995×19++102,1365×11+102,1735×4+102,211×2).
102,100 мм.
После подстановки 102,1 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=2*101,9885-102,12+…+2*102,211-102,1252=0,1220452.
Sx=0,0484 мм.
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле: ϕ(z)=e(-z22)2π
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле: Zoi=Xoi-XSx.
Для 1 интервала:
Zo1 =-2,30, что соответствует величине φ(z) = 0,028.
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,54, что соответствует величине φ(z) = 0,122.
Для 3 интервала:
Zo3 = -0,77, что соответствует величине φ(z) = 0,297.
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,01, что соответствует величине φ(z) = 0,399.
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,75, что соответствует величине φ(z) = 0,301.
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,52, что соответствует величине φ(z) = 0,126.
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,29, что соответствует величине φ(z) = 0,029.
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Noi=N×hSxϕZoi.
Для 1 интервала:
No1 =1,126.
Для 2 интервала:
No2 = 4,845.
Для 3 интервала:
No3 = 11,790.
Для 4 интервала:
No4 =15,858.
Для 5 интервала:
No5 = 11,971.
Для 6 интервала:
No6 = 4,995.
Для 7 интервала:
No7 = 1,152.
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
Таблица 1.2
№ интервала Фактическая частота Теоретическая частота
1 0,038 0,022
2 0,077 0,093
3 0,192 0,227
4 0,365 0,305
5 0,212 0,23
6 0,077 0,096
7 0,038 0,022
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра χ-квадрат:
Таблица 1.3
№
интервала mi
N​oi
mi-N​oi
(mi-N​oi)2
(mi-N​oi)2Noi
1 2 1,126 0,874 0,763876 0,678398
2 4 4,845 -0,845 0,714025 0,147374
3 10 11,79 -1,79 3,2041 0,271764
4 19 15,858 3,142 9,872164 0,622535
5 11 11,971 -0,971 0,942841 0,07876
6 4 4,995 -0,995 0,990025 0,198203
7 2 1,152 0,848 0,719104 0,624222
χ2=(mi-N​oi)2Noi=2,621.
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: ,
где – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,05;
- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием).
Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение χq2=9,49.
В силу того, что выполняется условие
χ2=2,621<χq2=9,49,
делаем вывод о том, что исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
3