Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X

1. Построение гистограммы.
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax – Xmin=35,230-34,970=0,26 мм.
Xmax = 35,230 мм – наибольшее из измеренных значений;
Xmin = 34,970 мм – наименьшее из измеренных значений.
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:
n =N=53=7,28.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.
Принимаем n = 7.
Определяем ширину интервала h:
h ==0,267=0,037 мм.
Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi
1 интервал: Xmin1 – Xmax1
Xmin1 = Xmin=34,970 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 34,970+0,037=35,007 мм
2 интервал: Xmin2 – Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 35,007 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 35,044 (мм)
3 интервал: Xmin3 – Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 35,044 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 35,081 (мм)
4 интервал: Xmin4 – Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 35,081 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 35,118 (мм)
5 интервал: Xmin5 – Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 35,118 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 35,155 (мм)
6 интервал: Xmin6 – Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 35,155 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 35,192 (мм)
7 интервал: Xmin7 – Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 35,192 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 35,229~35,230 мм.
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал: Xo1 = Xmin1 + =34,9885 (мм)
2 интервал:Xo2 = Xmin2 + = 35,0255 (мм)
3 интервал:Xo3 = Xmin3 + = 35,0625 (мм)
4 интервал:Xo4 = Xmin4 + = 35,0995 (мм)
5 интервал:Xo5 = Xmin5 + = 35,1365 (мм)
6 интервал:Xo6 = Xmin6 + = 35,1735 (мм)
7 интервал:Xo7 = Xmin7 + = 35,211 (мм)
Определение количества размеров попадающих в каждый интервал mi.
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 34,97 35,007 34,9885 2 0,038
2 35,007 35,044 35,0255 2 0,038
3 35,044 35,081 35,0625 10 0,189
4 35,081 35,118 35,0995 15 0,283
5 35,118 35,155 35,1365 18 0,340
6 35,155 35,192 35,1735 4 0,075
7 35,192 35,23 35,211 2 0,038
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
1457325863600X=35,108 мм
0X=35,108 мм
166306583756500346646512255500
2 . Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx ≈ Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=153×(34,9885×2+35,0255×2+35,0625×10+35,0995×15++35,1365×18+35,1735×4+35,211×2).
35,108 мм.
После подстановки 35,108 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=2*34,9885-35,1082+…+2*35,211-35,108253=0,11753.
Sx=0,047 мм.
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле:
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле:
Для 1 интервала:
Zo1 =-2,54, что соответствует величине φ(z) = 0,01585.
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,76, что соответствует величине φ(z) = 0,08478.
Для 3 интервала:
Zo3 = -0,97, что соответствует величине φ(z) = 0,24923.
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,18, что соответствует величине φ(z) = 0,39253.
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,61, что соответствует величине φ(z) = 0,33121.
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,39, что соответствует величине φ(z) = 0,15183.
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,19, что соответствует величине φ(z) = 0,03626.
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Для 1 интервала:
No1 =0,661.
Для 2 интервала:
No2 = 3,537.
Для 3 интервала:
No3 = 10,399.
Для 4 интервала:
No4 =16,378.
Для 5 интервала:
No5 = 13,819.
Для 6 интервала:
No6 = 6,335.
Для 7 интервала:
No7 = 1,513.
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
№ интервала Фактическая частота Теоретическая частота
1 0,038 0,012
2 0,038 0,067
3 0,189 0,196
4 0,283 0,309
5 0,340 0,261
6 0,075 0,120
7 0,038 0,029
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра χ-квадрат:
№
интервала mi
N​oi
mi-N​oi
(mi-N​oi)2
(mi-N​oi)2Noi
1 2 0,661 1,339 1,792921 2,712437
2 2 3,537 -1,537 2,362369 0,667902
3 10 10,399 -0,399 0,159201 0,015309
4 15 16,378 -1,378 1,898884 0,115941
5 18 13,819 4,181 17,480761 1,26498
6 4 6,335 -2,335 5,452225 0,860651
7 2 1,513 0,487 0,237169 0,156754
χ2=(mi-N​oi)2Noi=5,794.
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: ,
где – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,02;
- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием).
Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение χq2=11,67.
В силу того, что выполняется условие
χ2=5,794<χq2=11,67,
делаем вывод о том, что исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
3