Обработка результатов равноточных многократных измерений.
1.1. Определить основные статистические показатели.
1.2. Построить гистограмму.
1.3. Построить теоретическую кривую нормального распределения на том же графике.
1.4. Определить доверительный интервал рассеивания случайных погрешностей вокруг среднего значения.
1.5. Определить суммарную погрешность обработки.
1.6. Ответить на вопросы: Для чего необходимо строить на одном графике теоретическую кривую нормального распределения и гистограмму? Какие выводы можно сделать по данному графику?
ВАРИАНТ 14. Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X, среднеквадратичного отклонения Sx, и определением суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала ±∆Pд.
Исходные данные
Цена деления прибора С, мм 0,010
Результаты измерений, мм
1 60,110 11 60,130 21 60,070 31 60,050 41 60,130
2 60,130 12 60,230 22 60,170 32 60,100 42 60,090
3 60,070 13 60,110 23 60,060 33 60,040 43 60,150
4 60,110 14 60,050 24 60,130 34 59,990 44 60,110
5 60,030 15 60,170 25 60,110 35 60,130 45 60,090
6 60,090 16 60,150 26 60,090 36 60,010 46 60,070
7 60,050 17 59,970 27 60,110 37 60,210 47 60,170
8 60,150 18 60,190 28 60,120 38 60,110 48 60,110
9 60,130 19 60,090 29 60,080 39 60,130 49 60,150
10 60,090 20 60,070 30 60,100 40 60,070 50 60,150
Доверительная вероятность Рд = 0,97 – показывает вероятность нахождения истинного значения в рассчитанном интервале.
Уровень значимости q = 0,05 – показывающий, что принятый закон рассеивания размеров не будет соответствовать реальному закону.
Решение
1. Построение гистограммы.
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax – Xmin=60,23-59,97=0,26 мм.
Xmax = 60,23 мм – наибольшее из измеренных значений;
Xmin = 59,97 мм – наименьшее из измеренных значений.
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:
n =N=50=7,07.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.
Принимаем n = 7.
Определяем ширину интервала h:
h ==0,267=0,037 мм.
Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi
1 интервал: Xmin1 – Xmax1
Xmin1 = Xmin=59,97 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 59,97+0,037=60,007 мм
2 интервал: Xmin2 – Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 60,007 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 60,044 (мм)
3 интервал: Xmin3 – Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 60,044 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 60,081 (мм)
4 интервал: Xmin4 – Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 60,081 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 60,118 (мм)
5 интервал: Xmin5 – Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 60,118 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 60,155 (мм)
6 интервал: Xmin6 – Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 60,155 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 60,192 (мм)
7 интервал: Xmin7 – Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 60,192 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 60,229~60,23 мм.
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал: Xo1 = Xmin1 + =59,9885 (мм)
2 интервал:Xo2 = Xmin2 + = 60,0255 (мм)
3 интервал:Xo3 = Xmin3 + = 60,0625 (мм)
4 интервал:Xo4 = Xmin4 + = 60,0995 (мм)
5 интервал:Xo5 = Xmin5 + = 60,1365 (мм)
6 интервал:Xo6 = Xmin6 + = 60,1735 (мм)
7 интервал:Xo7 = Xmin7 + = 60,211 (мм)
Определение количества размеров попадающих в каждый интервал mi.
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Таблица 1.1
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 59,97 60,007 59,9885 2 0,04
2 60,007 60,044 60,0255 3 0,06
3 60,044 60,081 60,0625 10 0,20
4 60,081 60,118 60,0995 16 0,32
5 60,118 60,155 60,1365 13 0,26
6 60,155 60,192 60,1735 4 0,08
7 60,192 60,23 60,211 2 0,04
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
3387090382270001504950501650X=60,103 мм
00X=60,103 мм
158686577089000
Рисунок 1.1
2
. Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx ≈ Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=150×(59,9885×2+60,0255×3+60,0625×10+60,0995×16++60,1365×13+60,1735×4+60,211×2).
60,103 мм.
После подстановки 60,103 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=2*59,9885-60,1032+…+2*60,211-60,103250=0,1186450.
Sx=0,0487 мм.
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле: ϕ(z)=e(-z22)2π
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле: Zoi=Xoi-XSx.
Для 1 интервала:
Zo1 =-2,35, что соответствует величине φ(z) = 0,025.
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,59, что соответствует величине φ(z) = 0,113.
Для 3 интервала:
Zo3 = -0,83, что соответствует величине φ(z) = 0,283.
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,07, что соответствует величине φ(z) = 0,398.
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,69, что соответствует величине φ(z) = 0,314.
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,45, что соответствует величине φ(z) = 0,139.
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,22, что соответствует величине φ(z) = 0,034.
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Noi=N×hSxϕZoi.
Для 1 интервала:
No1 =0,958.
Для 2 интервала:
No2 = 4,281.
Для 3 интервала:
No3 = 10,739.
Для 4 интервала:
No4 =15,118.
Для 5 интервала:
No5 = 11,945.
Для 6 интервала:
No6 = 5,297.
Для 7 интервала:
No7 = 1,289.
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
Таблица 1.2
№ интервала Фактическая частота Теоретическая частота
1 0,04 0,019
2 0,06 0,086
3 0,20 0,215
4 0,32 0,302
5 0,26 0,239
6 0,08 0,106
7 0,04 0,026
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра χ-квадрат:
Таблица 1.3
№
интервала mi
Noi
mi-Noi
(mi-Noi)2
(mi-Noi)2Noi
1 2 0,958 1,042 1,085764 1,133365
2 3 4,281 -1,281 1,640961 0,383313
3 10 10,739 -0,739 0,546121 0,050854
4 16 15,118 0,882 0,777924 0,051457
5 13 11,945 1,055 1,113025 0,093179
6 4 5,297 -1,297 1,682209 0,317578
7 2 1,289 0,711 0,505521 0,392181
χ2=(mi-Noi)2Noi=2,422.
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: ,
где – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,05;
- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием).
Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение χq2=9,5.
В силу того, что выполняется условие
χ2=2,217<χq2=9,5,
делаем вывод о том, что исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
