Обработка результатов равноточных многократных измерений.
1.1. Определить основные статистические показатели.
1.2. Построить гистограмму.
1.3. Построить теоретическую кривую нормального распределения на том же графике.
1.4. Определить доверительный интервал рассеивания случайных погрешностей вокруг среднего значения.
1.5. Определить суммарную погрешность обработки.
1.6. Ответить на вопросы: Для чего необходимо строить на одном графике теоретическую кривую нормального распределения и гистограмму? Какие выводы можно сделать по данному графику?
ВАРИАНТ 36. Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X, среднеквадратичного отклонения Sx, и определением суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала ±∆Pд.
Исходные данные
Цена деления прибора С, мм 0,010
Результаты измерений, мм
1 34,110 12 34,150 23 34,130 34 34,090 45 34,120 56 34,120
2 34,030 13 34,130 24 34,170 35 34,050 46 34,090 57 34,190
3 34,080 14 34,110 25 34,090 36 34,030 47 34,010 58 34,070
4 34,170 15 34,190 26 34,030 37 34,160 48 34,070 59 34,090
5 34,070 16 34,100 27 34,110 38 34,080 49 34,050 60 34,090
6 34,130 17 33,970 28 34,050 39 34,230 50 34,150
7 34,090 18 33,990 29 34,110 40 34,130 51 34,110
8 34,070 19 34,070 30 34,130 41 34,110 52 34,150
9 34,060 20 34,230 31 34,150 42 34,110 53 34,050
10 34,130 21 34,130 32 34,210 43 34,090 54 34,100
11 34,110 22 34,070 33 34,130 44 34,110 55 34,170
Доверительная вероятность Рд = 0,93 – показывает вероятность нахождения истинного значения в рассчитанном интервале.
Уровень значимости q = 0,1 – показывающий, что принятый закон рассеивания размеров не будет соответствовать реальному закону.
Решение
1. Построение гистограммы.
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax – Xmin=34,230 -33,970=0,26 мм.
Xmax = 34,230 мм – наибольшее из измеренных значений;
Xmin = 33,970 мм – наименьшее из измеренных значений.
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:
n =N=60=7,75.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.
Принимаем n = 7.
Определяем ширину интервала h:
h ==0,267=0,037 мм.
Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi
1 интервал: Xmin1 – Xmax1
Xmin1 = Xmin=33,970 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 33,970+0,037=34,007 мм
2 интервал: Xmin2 – Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 34,007 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 34,044 (мм)
3 интервал: Xmin3 – Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 34,044 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 34,081 (мм)
4 интервал: Xmin4 – Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 34,081 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 34,118 (мм)
5 интервал: Xmin5 – Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 34,118 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 34,155 (мм)
6 интервал: Xmin6 – Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 34,155 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 34,192 (мм)
7 интервал: Xmin7 – Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 34,192 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 34,229~34,230 мм.
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал: Xo1 = Xmin1 + =33,9885 (мм)
2 интервал:Xo2 = Xmin2 + = 34,0255 (мм)
3 интервал:Xo3 = Xmin3 + = 34,0625 (мм)
4 интервал:Xo4 = Xmin4 + = 34,0995 (мм)
5 интервал:Xo5 = Xmin5 + = 34,1365 (мм)
6 интервал:Xo6 = Xmin6 + = 34,1735 (мм)
7 интервал:Xo7 = Xmin7 + = 34,211 (мм)
Определение количества размеров попадающих в каждый интервал mi.
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Таблица 1.1
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 33,97 34,007 33,9885 2 0,033
2 34,007 34,044 34,0255 4 0,067
3 34,044 34,081 34,0625 13 0,217
4 34,081 34,118 34,0995 18 0,300
5 34,118 34,155 34,1365 14 0,233
6 34,155 34,192 34,1735 6 0,100
7 34,192 34,23 34,211 3 0,050
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
3387090521970001504950501650X=34,104 мм
00X=34,104 мм
158686577089000
Рисунок 1.1
2
. Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx ≈ Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=160×(33,9885×2+34,0255×4+34,0625×13+34,0995×18++34,1365×14+34,1735×6+34,211×3).
34,104 мм.
После подстановки 34,104 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=2*33,9885-34,1042+…+3*34,211-34,104260=0,152260.
Sx=0,05 мм.
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле: ϕ(z)=e(-z22)2π
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле: Zoi=Xoi-XSx.
Для 1 интервала:
Zo1 =-2,29, что соответствует величине φ(z) = 0,029.
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,55, что соответствует величине φ(z) = 0,120.
Для 3 интервала:
Zo3 = -0,81, что соответствует величине φ(z) = 0,287.
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,07, что соответствует величине φ(z) = 0,398.
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,67, что соответствует величине φ(z) = 0,319.
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,41, что соответствует величине φ(z) = 0,148.
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,16, что соответствует величине φ(z) = 0,039.
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Noi=N×hSxϕZoi.
Для 1 интервала:
No1 =1,287.
Для 2 интервала:
No2 = 5,328.
Для 3 интервала:
No3 = 12,759.
Для 4 интервала:
No4 =17,670.
Для 5 интервала:
No5 = 14,152.
Для 6 интервала:
No6 = 6,555.
Для 7 интервала:
No7 = 1,719.
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
Таблица 1.2
№ интервала Фактическая частота Теоретическая частота
1 0,033 0,021
2 0,067 0,089
3 0,217 0,213
4 0,300 0,295
5 0,233 0,236
6 0,100 0,109
7 0,050 0,029
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра χ-квадрат:
Таблица 1.3
№
интервала mi
Noi
mi-Noi
(mi-Noi)2
(mi-Noi)2Noi
1 2 1,287 0,713 0,508369 0,395003
2 4 5,328 -1,328 1,763584 0,331003
3 13 12,759 0,241 0,058081 0,004552
4 18 17,67 0,33 0,1089 0,006163
5 14 14,152 -0,152 0,023104 0,001633
6 6 6,555 -0,555 0,308025 0,046991
7 3 1,719 1,281 1,640961 0,954602
χ2=(mi-Noi)2Noi=1,74.
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: ,
где – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,1;
- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием).
Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение χq2=7,78.
В силу того, что выполняется условие
χ2=1,74<χq2=7,78,
делаем вывод о том, что исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
