Обработка результатов равноточных многократных измерений.
1.1. Определить основные статистические показатели.
1.2. Построить гистограмму.
1.3. Построить теоретическую кривую нормального распределения на том же графике.
1.4. Определить доверительный интервал рассеивания случайных погрешностей вокруг среднего значения.
1.5. Определить суммарную погрешность обработки.
1.6. Ответить на вопросы: Для чего необходимо строить на одном графике теоретическую кривую нормального распределения и гистограмму? Какие выводы можно сделать по данному графику?
ВАРИАНТ 17. Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X, среднеквадратичного отклонения Sx, и определением суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала ±∆Pд.
Исходные данные
Цена деления прибора С, мм 0,010
Результаты измерений, мм
1 10,110 11 10,170 21 10,170 31 10,170 41 10,100 51 10,050
2 10,130 12 10,110 22 10,070 32 10,140 42 10,110 52 10,130
3 10,130 13 10,090 23 10,110 33 10,150 43 10,070 53 10,090
4 10,050 14 10,130 24 10,090 34 10,080 44 10,130
5 10,020 15 10,230 25 10,030 35 10,110 45 10,050
6 10,150 16 9,970 26 10,130 36 10,090 46 10,150
7 10,120 17 10,110 27 10,100 37 10,150 47 10,090
8 10,090 18 10,190 28 10,120 38 10,010 48 10,150
9 10,070 19 10,070 29 10,070 39 10,180 49 10,090
10 10,210 20 10,120 30 10,070 40 10,110 50 10,130
Доверительная вероятность Рд = 0,92 – показывает вероятность нахождения истинного значения в рассчитанном интервале.
Уровень значимости q = 0,02 – показывающий, что принятый закон рассеивания размеров не будет соответствовать реальному закону.
Решение
1. Построение гистограммы.
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax – Xmin=10,23-9,97=0,26 мм.
Xmax = 10,23 мм – наибольшее из измеренных значений;
Xmin = 9,97 мм – наименьшее из измеренных значений.
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:
n =N=53=7,28.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.
Принимаем n = 7.
Определяем ширину интервала h:
h ==0,267=0,037 мм.
Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi
1 интервал: Xmin1 – Xmax1
Xmin1 = Xmin=9,97 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 9,97+0,037=10,007 мм
2 интервал: Xmin2 – Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 10,007 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 10,044 (мм)
3 интервал: Xmin3 – Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 10,044 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 10,081 (мм)
4 интервал: Xmin4 – Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 10,081 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 10,118 (мм)
5 интервал: Xmin5 – Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 10,118 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 10,155 (мм)
6 интервал: Xmin6 – Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 10,155 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 10,192 (мм)
7 интервал: Xmin7 – Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 10,192 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 10,229~10,23 мм.
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал: Xo1 = Xmin1 + =9,9885 (мм)
2 интервал:Xo2 = Xmin2 + = 10,0255 (мм)
3 интервал:Xo3 = Xmin3 + = 10,0625 (мм)
4 интервал:Xo4 = Xmin4 + = 10,0995 (мм)
5 интервал:Xo5 = Xmin5 + = 10,1365 (мм)
6 интервал:Xo6 = Xmin6 + = 10,1735 (мм)
7 интервал:Xo7 = Xmin7 + = 10,211 (мм)
Определение количества размеров попадающих в каждый интервал mi.
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Таблица 1.1
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 9,97 10,007 9,9885 1 0,02
2 10,007 10,044 10,0255 3 0,06
3 10,044 10,081 10,0625 10 0,19
4 10,081 10,118 10,0995 16 0,30
5 10,118 10,155 10,1365 16 0,30
6 10,155 10,192 10,1735 5 0,09
7 10,192 10,23 10,211 2 0,04
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
3387090569595001504950501650X=10,109 мм
00X=10,109 мм
158686577089000
Рисунок 1.1
2
. Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx ≈ Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=155×(9,9885×1+10,0255×3+10,0625×10+10,0995×16++10,1365×16+10,1735×5+10,211×2).
10,109 мм.
После подстановки 10,109 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=9,9885-10,1092+…+2*10,211-10,109253=0,112253.
Sx=0,046 мм.
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле: ϕ(z)=e(-z22)2π
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле: Zoi=Xoi-XSx.
Для 1 интервала:
Zo1 =-2,62, что соответствует величине φ(z) = 0,013.
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,82, что соответствует величине φ(z) = 0,076.
Для 3 интервала:
Zo3 = -1,01, что соответствует величине φ(z) = 0,240.
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,21, что соответствует величине φ(z) = 0,390.
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,6, что соответствует величине φ(z) = 0,333.
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,4, что соответствует величине φ(z) = 0,150.
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,22, что соответствует величине φ(z) = 0,034.
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Noi=N×hSxϕZoi.
Для 1 интервала:
No1 =0,550.
Для 2 интервала:
No2 = 3,246.
Для 3 интервала:
No3 = 10,212.
Для 4 интервала:
No4 =16,636.
Для 5 интервала:
No5 = 14,206.
Для 6 интервала:
No6 = 6,383.
Для 7 интервала:
No7 = 1,447.
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
Таблица 1.2
№ интервала Фактическая частота Теоретическая частота
1 0,02 0,01
2 0,06 0,061
3 0,19 0,193
4 0,30 0,314
5 0,30 0,268
6 0,09 0,12
7 0,04 0,027
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра χ-квадрат:
Таблица 1.3
№
интервала mi
Noi
mi-Noi
(mi-Noi)2
(mi-Noi)2Noi
1 1 0,55 0,45 0,2025 0,368182
2 3 3,246 -0,246 0,060516 0,018643
3 10 10,212 -0,212 0,044944 0,004401
4 16 16,636 -0,636 0,404496 0,024314
5 16 14,206 1,794 3,218436 0,226555
6 5 6,383 -1,383 1,912689 0,299654
7 2 1,447 0,553 0,305809 0,21134
χ2=(mi-Noi)2Noi=1,153.
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: ,
где – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,02;
- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием).
Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение χq2=11,67.
В силу того, что выполняется условие
χ2=1,153<χq2=11,67,
делаем вывод о том, что исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
